Dérivation (8)
2.3 Dérivée de la fonction n√ avec n≥1
2.3.1 Introduction
Soit x∈J=]0;+∞[.
n√x =y ⇔ x=yn=f(y)
f est dérivable sur I=]0;+∞[ et f'(y)=nyn-1≠0
donc f-1 est dérivable sur J=f(I)=]0;+∞[
| et (n√x) ' = | 1 |
| n(n√x)n-1 |
2.3.2 Propriété
Soit n∈IN*.
La fonction n√x est dérivable sur IR+*
| et (n√x) ' = | 1 |
| n(n√x)n-1 |
Exemple
| (5√x) ' = | 1 |
| 5(5√x)4 |
2.3.3 Résultat
Si f est une fonction numérique f strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors ∀n∈IN* la fonction n√f est dérivable sur I
| et (n√f) ' = | f ' |
| n(n√f)n-1 |
Cas particulier
Si f est une fonction numérique strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction √f est dérivable sur I.
Et on a
| (√f) ' = | f ' |
| 2√(f) |
Exercice 1 tp
Soient f et g deux fonctions définies par
f(x)=n√(x²+x+3) et g(x)=x-√(2x-1).
Calculer f'(x) et g'(x).