Mathématiques du secondaire qualifiant

(1) المعادلات التفاضلية

1- المعادلات التفاضلية: y'=ay+b

1.1 تعريف

ليكن a و b عددين حقيقيين ونعين ب y للدالة f وب y' للدالة المشتقة الاولى f'
المعادلة التفاضلية من الرتبة الاولى بمجهول واحد الدالة y هي معادلة تكتب على الشكل y'=ay+b

امثلة

1) y'=2y+5
2) y'=-3y+1
3) y'=7y

1.2 حلول المعادلة التفاضلية y'=ay

1) اذا كانت y=0 فهي حل خاص للمعادلة y'=ay
2) اذا كانت y≠0 فان :

y'=ay ⇔y'=a
y

اي ln|y|=ax+t حيث t∈IR
اي y=±eax+t = ±et.eax

نضع ±et=k لانه عدد تابت اذن y=keax هو الحل ىالعام للمعادلة التفاضلية y'=ay

1.2.1 خاصية 1

الحل العام للمعادلة التفاضلية y'=ay يكتب على الشكل y=keaxحيث k∈IR.

1.2.2 مثال 1:

الحل العام للمعادلة التفاضلية y'=3y هو y=ke3x حيث k∈IR

1.2.3 مثال 2:

الحل العام للمعادلة التفاضلية y'=-5y هو y=ke-5x حيث k∈IR

1.3 حلول المعادلة التفاضلية y'=ay+b حيث a≠0

y'=ay+b ⇔ y'=a(y+b)
a
⇔(y+b)'=a(y+b)
aa
Y=y+b نضع
a

y'=ay+b⇔ Y'=aY
حسب الحالة الاولى : Y=keax اي

y+b=keax
a
y=keax-b اي
a
1.3.1 خاصية 2

حلول المعادلة التفاضلية y'=ay+b حيث a≠0 هي مجموعة الدوال y المعرفة بما يلي :

y=keax - b; k∈IR
a
1.3.2 مثال

حلول المعادلة التفاضلية y'=3y+2 هي مجموعة الدوال y المعرفة بما يلي :

y=ke3x - 2; k∈IR
3

1.4 خاصية 3

a;b∈IR,a≠0
لكل عددين u و v يوجد حل وحيد للمعادلة التفاضلية y'=ay+b ويحقق الشرط التالي y(u)=v

تمرين:

حدد f حل للمعادلة (E): y'=2y+5 بحيث f(1)=-2

تصحيح

حلول المعادلة (E) هي مجموعة الدوال y التي تكتب على الشكل التالي

اذن y(1)=-2 حيث y=ke2x - 5; k∈IR
2
-2=ke2 - 5; k∈IR
2
اي ke2=-2+5
2
y=1e2x-2
5
تمرين هنا ..

حل المعادلة التفاضلية التالية
2y'+3y-4 = 0 حيث y(0)=3