1- Fonction exponentielle népérien

1.1 Rappel et Définition

1.1.1 Théorème des valeurs intermédiares

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I=[a;b] avec a;b∈IR et a<b. L'équation f(x)=k admet une solution unique dans I pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b).

1.1.2 Fontion ln

La fonction logarithme népérien ln est une fonction primitive de la fonction

sur IR^+* et qui s'annule en 1.
La fonction ln est continue et strictement croissante sur IR^+*
donc ln admet une fonction réciproque définie de IR vers IR^+*.

1.1.3 Définition

La fonction réciproque de la fonction logarithme népérien est appelée fonction exponentielle et est notée exp définie de IR vers IR^+*.
En d'autre terme
(∀x∈IR): exp(x) = ln^-1(x)
(exp(x)=y avec x∈IR) ⇔ (x=ln(y) avec y>0 ).

Exemples
(exp(-2)=y avec y>0) ⇔ lny=-2
(exp(1)=y avec y>0) ⇔ lny=1 ⇔ y=e.

1.1.4 Résultats

1) (∀x∈IR): exp(x)>0.
2) La fonction exp est strictement croissante sur IR.
3) e^x = e^y ⇔ x = y.
4) e^x < e ^x ⇔ x < y.

1.1.5 Ecriture de e^x

(∀r∈Q): ln(e^r) = r ⇔ e^r=exp(r).
En général (∀x∈IR): exp(x)=e^x.

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les équations suivantes:
1) e^x=5.
2) e^x=-3.
3) (e^x)²-5e^x+4=0.

Correction

1) L'équation e^x = 5 est définie sur IR.
e^x = 5 ⇔ x = ln5
donc S={ln5}.

2) L'équation e^x=-3 n'a pas de solution
car (∀x∈IR): e^x > 0
et -3 < 0 donc S = ∅.
3) L'équation (e^x)²-5e^x+4=0 est définie sur IR.
On pose e^x=X
L'équation devient une équation du second degré
X²-5X+4=0 (*).
Δ = b²-4ac=(-5)²-4.4 =9 > 0.

Donc l'équation (*) admet deux solutions différentes

Donc X₁=1 et X₂=4
On a X = e^x
X₁=1 ⇔ e^x1=1
⇔ x₁ = ln1=0
X₂ = 4 ⇔ e^x₂=4
⇔ x₂ = ln4
ainsi S={0 ; ln4}.