الدوال الاسية (2)
1.3 دراسة الدالة exp
1.3.1 مجموعة تعريف الدالة exp
exp معرفة من IR نحو IR*+ بتكوينها اذن
Dexp =IR.
1.3.2 النهايات والفروع اللانهائية
lim+∞ex = +∞
lim-∞ ex = 0
اذن محور الافاصيل هو مقارب للمنحنى (C) بجوار -∞
lim+∞ | ex | = +∞ |
x |
اذن المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الاراتيب
1.3.2 مشتقة الدالة exp
لدينا ∀x∈IR: ex> 0
الدالة exp قابلة للاشتقاق على IR و (ex)'= ex
برهان :
لدينا : ∀x∈IR, (ex)'=(ln-1)'(x)
(ln-1)'(x)= | 1 | = | 1 |
ln'(ln-1(x)) | ln(ln-1(x)) |
ومنه فان exp تزايدية قطعا على IR
x | -∞ | +∞ | |
---|---|---|---|
f | 0 | ↗ | +∞ |
1.3.4 المنحنى
منحنى الدالة exp مماثل لمنحنى الدالة ln بالنسبة للمنصف الاول للمعلم اي المستقيم (D): y=x
1.3.5 نهايات اعتيادية
lim+∞ ex = +∞ | ; | lim-∞ ex = 0 |
limx->0 | ex-1 | = 1 |
x | ||
lim-∞xex= 0 | ; | lim-∞xnex=0 ; n∈Z |
lim+∞ | ex | = +∞ |
x |
lim+∞ | ex | = +∞, n∈ℤ |
xn |
1.4 مشتقة الدالة f:→eu(x)
1.4.1 مجموعة تعريف الدالة f
D={ x∈IR/ x∈Du }
حيث
Du هي مجموعة تعريف الدالة u
1.4.2 خاصية 1
لتكن f مركب الدالتين exp و الدالة u اي f=expou
اذا كانت الدالة u متصلة على مجال I فان الدالة f= expou متصلة على I
1.4.3 خاصية 2
اذا كانت الدالة u قابلة للاشتقاق على مجال I فان الدالة f=expou قابلة للاشتقاق على I ولدينا :
∀x∈I: f'(x)=u'(x).eu(x)
برهان
ليكن x∈I لدينا (eu(x))'=exp'(u(x)).u'(x)
=(exp(u(x))).u'(x)=u'(x).eu(x)
تمرين 1:
f(x)= ex²+x
ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f على IR
تصحيح
lالدالة x→x²+x قابلة للاشتقاق على IR اذن f قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا f'(x)=(2x+1)ex²+x
تمرين 2:
g(x)= e√(2x+1)
ادرس قابلية الاشتقاق للدالة g على Dg
تصحيح
Dg=[-0,5 ;+∞[
الدالة x→√(2x+1) قابلة للاشتقاق على
]-0,5 ;+∞[
اذن g قابلة للاشتقاق على
]-0,5 ;+∞[
ولدينا : g'(x)=(√(2x+1))'g(x) اذن
اذن g'(x)= | 2 | g(x) |
2√(2x+1) | ||
g'(x)= | 1 | e√(2x+1) |
√(2x+1) |
1.5 الدوال الاصلية للدالة h: x→u'(x)eu(x)
1.5.1 تذكير
اذا كانت u قابلة للاشتقاق على مجال I فان الدالة f المعرفة ب : f(x)=eu(x) قابلة للاشتقاق على I ولدينا
∀x∈I, f'(x)=u'(x).eu(x)
1.5.2 خاصية
لتكن u دالة قابلة للاشتقاق على مجال I
و h دالة معرفة كما يلي :
h(x)=u'(x)eu(x)
الدوال الاصلية للدالة h هي الدوال x→eu(x)+k حيث k∈IR
1.5.3 مثال
حدد الدوال الاصلية للدالة f المعرفة كما يلي
f(x)=(2x+1)ex²+x+2
تصحيح
الدالة x→x²+x+2 قابلة للاشتقاق على IR
نلاحظ ان (x²+x+2)'=2x+1 اذن الدوال الاصلية للدالة f هي الدوال : x→ex²+x+2+k حيث k∈IR
تمرين 1
لتكن g دالة معرفة بما يلي :
g(x)= | 1 | e3/x |
x² |
تصحيح
الدالة x→3/x قابلة للاشتقاق على IR* ولدينا
( | 3 | )'= | -3 |
x | x² |
x→ | -1 | e3/x +k, k∈IR |
3 |
تمرين 2
احسب النهايات التالية
1) lim(+∞) x-ex
2) lim(+∞) e2x-ex
3) lim(+∞) ex-lnx
تمرين 3
lim(+∞) | 1-ex | ; lim(+∞) | x-ex |
x | ex |
تمرين 4
احسب النهاية التالية
lim(0+) xln(e2x-ex)
تصحيح
xln(e2x-ex) =xln(ex(ex-1))
=x²+xln(ex-1)
lim(0+) xln(e2x-ex)=
lim(0+)x²+lim(0+) xln(ex-1)
=lim(0+) xln(ex-1)
نضع
ex-1=t⇒x=ln(1+t); t→0
lim(0+) xln(ex-1)=lim(0+) ln(1+t)ln(t)
lim(0+) | ln(t+1) | t.ln(t) = 1×0=0 |
t |