Mathématiques du secondaire qualifiant

الدوال الاسية (2)

1.3 دراسة الدالة exp

1.3.1 مجموعة تعريف الدالة exp

exp معرفة من IR نحو IR*+ بتكوينها اذن
Dexp =IR.

1.3.2 النهايات والفروع اللانهائية

lim+∞ex = +∞
lim-∞ ex = 0
اذن محور الافاصيل هو مقارب للمنحنى (C) بجوار -∞

lim+∞ex= +∞
x

اذن المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الاراتيب

1.3.2 مشتقة الدالة exp

لدينا ∀x∈IR: ex> 0
الدالة exp قابلة للاشتقاق على IR و (ex)'= ex

برهان :

لدينا : ∀x∈IR, (ex)'=(ln-1)'(x)
(ln-1)'(x)=1= 1
ln'(ln-1(x))ln(ln-1(x))
اذن (ex)' = ex
ومنه فان exp تزايدية قطعا على IR
1.3.3 جدول التغيرات
x-∞+∞
f
0
+∞

1.3.4 المنحنى

منحنى الدالة exp مماثل لمنحنى الدالة ln بالنسبة للمنصف الاول للمعلم اي المستقيم (D): y=x

courbe de l'exp
1.3.5 نهايات اعتيادية

lim+∞ ex = +∞ ; lim-∞ ex = 0
limx->0ex-1= 1
x
lim-∞xex= 0 ; lim-∞xnex=0 ; n∈Z
lim+∞ ex= +∞
x

lim+∞ ex= +∞, n∈ℤ
xn

1.4 مشتقة الدالة f:→eu(x)

1.4.1 مجموعة تعريف الدالة f

D={ x∈IR/ x∈Du }
حيث Du هي مجموعة تعريف الدالة u

1.4.2 خاصية 1

لتكن f مركب الدالتين exp و الدالة u اي f=expou
اذا كانت الدالة u متصلة على مجال I فان الدالة f= expou متصلة على I

1.4.3 خاصية 2

اذا كانت الدالة u قابلة للاشتقاق على مجال I فان الدالة f=expou قابلة للاشتقاق على I ولدينا :
∀x∈I: f'(x)=u'(x).eu(x)

برهان

ليكن x∈I لدينا (eu(x))'=exp'(u(x)).u'(x)
=(exp(u(x))).u'(x)=u'(x).eu(x)

تمرين 1:

f(x)= ex²+x
ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f على IR

تصحيح

lالدالة x→x²+x قابلة للاشتقاق على IR اذن f قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا f'(x)=(2x+1)ex²+x

تمرين 2:

g(x)= e√(2x+1)
ادرس قابلية الاشتقاق للدالة g على Dg

تصحيح

Dg=[-0,5 ;+∞[
الدالة x→√(2x+1) قابلة للاشتقاق على ]-0,5 ;+∞[
اذن g قابلة للاشتقاق على ]-0,5 ;+∞[
ولدينا : g'(x)=(√(2x+1))'g(x) اذن
اذن g'(x)=2g(x)
2√(2x+1)
g'(x)=1e√(2x+1)
√(2x+1)

1.5 الدوال الاصلية للدالة h: x→u'(x)eu(x)

1.5.1 تذكير

اذا كانت u قابلة للاشتقاق على مجال I فان الدالة f المعرفة ب : f(x)=eu(x) قابلة للاشتقاق على I ولدينا
∀x∈I, f'(x)=u'(x).eu(x)

1.5.2 خاصية

لتكن u دالة قابلة للاشتقاق على مجال I و h دالة معرفة كما يلي :
h(x)=u'(x)eu(x)
الدوال الاصلية للدالة h هي الدوال x→eu(x)+k حيث k∈IR

1.5.3 مثال

حدد الدوال الاصلية للدالة f المعرفة كما يلي
f(x)=(2x+1)ex²+x+2

تصحيح

الدالة x→x²+x+2 قابلة للاشتقاق على IR
نلاحظ ان (x²+x+2)'=2x+1 اذن الدوال الاصلية للدالة f هي الدوال : x→ex²+x+2+k حيث k∈IR

تمرين 1

لتكن g دالة معرفة بما يلي :
g(x)=1e3/x

تصحيح

الدالة x→3/x قابلة للاشتقاق على IR* ولدينا
(3)'=-3
x
اذن الدوال الاصلية للدالة g هي الدوال :
x→-1e3/x +k, k∈IR
3

تمرين 2

احسب النهايات التالية
1) lim(+∞) x-ex
2) lim(+∞) e2x-ex
3) lim(+∞) ex-lnx

تمرين 3

lim(+∞)1-ex ; lim(+∞)x-ex
xex

تمرين 4

احسب النهاية التالية
lim(0+) xln(e2x-ex)

تصحيح

xln(e2x-ex) =xln(ex(ex-1))
=x²+xln(ex-1)
lim(0+) xln(e2x-ex)= lim(0+)x²+lim(0+) xln(ex-1)
=lim(0+) xln(ex-1)

نضع
ex-1=t⇒x=ln(1+t); t→0
lim(0+) xln(ex-1)=lim(0+) ln(1+t)ln(t)
lim(0+) ln(t+1)t.ln(t) = 1×0=0
t
اذن lim(0+) xln(e2x-ex) =0