1.5 Primitives de h: x→u'(x)e^u(x)

1.5.1 Rappel

Si une fonction u est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f définie par f(x)=e^u(x) est dérivable sur I et (∀x∈I): f'(x)=u'(x).e^u(x).

1.5.2 Propriété

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et h une fonction définie sur I par
h(x)=u'(x)e^u(x). Les fonctions primitives de h sur I sont les fonctions x→e^u(x)+k avec k∈IR.

Exemple
Déterminer les fonctions primitives de la fonction f définie par
f(x)=(2x+1)e^x²+x+2.

Correction
La fonction x→x²+x+2 est un polynôme, donc dérivable sur IR
et on a (x²+x+2)')=2x+1 donc l'ensemble des primitives de la fonction f est l'ensemble des fonctions F_k définies sur IR par
F_k(x)=e^x²+x+2+k avec k∈IR.

Exercice 1 tp

Soit g une fonction définie par

g(x) =	1	e3/x
	x²

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de g.

Correction

La fonction

x →	3
	x

est dérivable sur IR*.

(	3	)' =	-3
	x		x²

donc

g(x) =	-1	. (	3	) ' e3/x
	3		x

ainsi l'ensemble des fonctions primitives de g sur IR* est l'ensemble des fonctions

x→	-1	e3/x + k avec k∈IR
	3

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	1	e3 + √(x+1)
	√(x+1)

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f.

Correction

D = [-1 ; +∞[.
La fonction x→ 3 + √(x+1) est dérivable sur I=]-1 ; +∞[.

Soit x∈I

(3 + √(x+1))' = 0 +	1
	2√(x+1)

donc
f(x) = 2.(3 + √(x+1))' e^{3 + √(x+1)}
ainsi l'ensemble des fonctions primitives de g sur I est l'ensemble des fonctions
x→2e^{3 + √(x+1)} + k avec k∈IR.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	5cos(2x) - 2sin(5x)	esin(2x) + cos(5x)
	10

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f.

Correction

D = IR.
La fonction x→ sin(2x) + cos(5x) est dérivable sur IR.

Soit x∈IR

(sin(2x) + cos(5x))' =	1	cos(2x) -	1	sin(5x)
	2		5

(sin(2x) + cos(5x))' =	5cos(2x) - 2sin(5x)
	10

donc
f(x) = (sin(2x) + cos(5x))' e^{sin(2x) + cos(5x)}
ainsi l'ensemble des fonctions primitives de g sur IR est l'ensemble des fonctions
x→e^{sin(2x) + cos(5x)} + k avec k∈IR.