Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I): e^x < 1

Correction

1) L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR
e^x < 1 ⇔ ln(e^x) < ln1
⇔ x < 0 ⇔ x∈]-∞;0[
ainsi S=]-∞;0[.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I): e^x ≥ 3.

Correction

1) L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR
e^x ≥ 3 ⇔ ln(e^x) ≥ ln3
⇔ x ≥ ln3 ⇔ x∈[ln3 ; +∞[
Ainsi S = [ln3 ; ∞[

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I): (e^x)² - 2e^x ≥ 0

Correction

L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR
On pose X = e^x
on a donc X > 0
Ou encore X∈J=]0 ; +∞[
L'inéquation (I) devient X²-2X ≥ 0 (*)

D'abord on résout l'équation X²-2X=0 dans J
X²-2X=0 ⇔ X(X-2)=0 ⇔ X = 0 ou X = 2
X = 0 ce n'est pas possible car X > 0
donc X=2
Puis on étudie le signe du trinôme T(X) = X²-2X
T(X) est de signe de X-2 dans J

X		0		2		+∞
X²-2X		||	-	0	+

X²-2X ≥ 0 ⇔ X∈[2 ; +∞[

Puisque X = e^x alors
X ≥ 2 ⇔ e^x ≥ 2
⇔ x ≥ ln2
⇔ x∈[ln2 ; +∞[
Ainsi S = [ln2 ; +∞[

Exercice 4 tp

Résoudre dans IR les inéquations suivantes

(I1):	ex - 1	≥ 0
	ex - 2
(I2):	ex - 1	≤ 2
	ex - 2

Correction

1) L'inéquation (I₁) est définie si e^x - 2 ≠ 0
e^x - 2 = 0 ⇔ e^x = 2 ⇔ x = ln2

Donc D = IR\{ ln2 } . Soit x∈D on étudie le signe du quotient de e^x - 1 sur e^x - 2

x		-∞		0		ln2		+∞
ex - 1			-	0	+	|	+
ex - 2			-	|	-	0	+
ex - 1			+	0	-	||	+
ex - 2

Ainsi S₁ = ] -∞ ; 0 ]∪] ln2 ; +∞ [

2) L'inéquation (I₂) est également définie sur D . Soit x∈D

(I2) ⇔	ex - 1	- 2 ≤ 0 ⇔	- ex - 5	≤ 0
	ex - 2		ex - 2

∀x∈D: - e^x - 5 < 0
Donc (I₂) ⇔ e^x - 2 > 0 ⇔ e^x > 2
⇔ x > ln2 ⇔ x∈] ln2 ; +∞[
Ainsi S₂ = ] ln2 ; +∞ [