Mathématiques du secondaire qualifiant

دراسة دوال عددية (1)

1- تذكير

1.1 الرتابة

I دالة تزايدية على f ⇔ ∀x∈I: f'(x) ≥ 0
I دالة تناقصية على f ⇔ ∀x∈I: f'(x) ≤ 0

1.2 الفروع اللانهائية والمقاربات

1.2.1 تعريف :

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم (O ;i;j)
اذا آلت احداتيات نقطة من المنحنى (C)
الى ما لانهاية فان المنحنى (C) يقبل فرعا لانهائيا
يعني اذا كان x→±∞ او f(x)→±∞.

1.2.2 مقارب مواز لمحور الاراتيب

اذا كانت lima- f(x) = +∞ او lima- f(x) = -∞
او lima+ f(x) = +∞ او lima+ f(x) = -∞
فان المستقيم ذو المعادلة x = a هو مقارب للمنحنى (C).

1.2.3 مقارب مواز لمحور الافاصيل

اذا كانت lim-∞f(x)=b او lim+∞f(x)=b فان المستقيم ذو المعادلة y=b مقارب للمنحنى (C) بجوار -∞ او من +∞

مثال

لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي

f(x)=2x
x+1

1) لدينا : lim+∞f(x)=2 اذن المستقيم (D):y=2 هو مقارب للمنحنى (C) بجوار +∞
2) lim-1+ f(x) = +∞ اذن المستقيم (D): x=-1 هو مقارب للمنحنى (C) على يمين 1
3) lim-1- f(x) = +∞ اذن المستقيم (D): x=-1 هو مقارب للمنحنى (C) على يسار 1

 asymptote
1.2.4 المقارب المائل

في هذه القفرة الدالة f تقبل تهاية غير منتهية عند ±∞
اذا كانت lim+∞f(x)-(ax+b)= 0
او (lim-∞f(x)-(ax+b)=0) حيث a∈IR* و b∈IR فان المستقيم (D) الذي معادلته y=ax+b مقارب مائل للمنحنى (C) بجوار +∞ او (-∞) .

خاصية :

لتكن f دالة عددية و (C) المنحنى الممثل لها , المستقيم ذو المعادلة y=ax+b مقارب مائل للمنحنى (C) بجوار +∞ او -∞ اذا وفقط اذا وجدت دالة عددية h بحيث f(x)=ax+b+h(x) و lim+∞h(x)=0
او (lim-∞h(x)=0)

مثال

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x)=2x+1+1
x
lim±∞f(x)-(2x+1)=lim±∞ 1=0
x

اذن lim±∞f(x)-(2x+1)=0

ومنه فان المستقيم ذو المعادلة y=2x+1 مقارب مائل للمنحنى (C) بجوار +∞ او -∞

خاصية :

اذا كانت lim±∞f(x)=±∞ و

lim±∞f(x)= a ; lim±∞f(x)-ax=b
x

فان المستقيم الذي معادلته y = ax+b مقارب للمنحنى Cf بجوار +∞ او -∞

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x)=x²-4x+5
x-2

1) حدد Df.
2) حدد مقاربات المنحنى (C)

1.4 تقعر دالة ونقط انعطاف

خاصيات

اذا كان ∀x∈I : f"(x)≥0 فان المنحنى Cf محدب
اذا كان ∀x∈I : f"(x)≤0 فان المنحنى Cf مفعر
اذا كان ∀x∈I : f"(a)=0 و f" تغير اشارتها في a
فان A(a;f(a)) نقطة انعطاف للمنحنى.