Rappel 1) Si une fonction f est dérivable au point a alors sa courbe (C) admet une tangente d'équation
y = f'(a)(x-a)+f(a) au point d'abscisse a.
2) Si f est une fonction dérivable en a
la fonction x→f'(a)(x-a)+f(a) est l'Approximation affine de f au point a
(ou f(a+h)≃hf'(a)+f(a); h→0).

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = √(2x - 4)
1) Etudier la dérivabilité de f au point 2

2) La courbe (C) de la fonction f admet elle une tangente au point d'abscisse 2
3) Déterminer l'approximation affine de f(4+h) au voisinage de 0?
4) Application : donner une valeur approximative de √(4,01)

Correction

1) On a D=[2 ; +∞[ donc 2∈D car f(2)=0
On étudie donc la dérivée à droite à 2

Donc f n'est pas dérivable au point 2

alors la courbe (C) admet une demi tangente verticle au point d'abscisse 2
3) Approximation affine de f(4+h)
4∈D et la fonction f ne s'annule pas au point 4 donc f est dérivable au point 4
On a f(a+h)≃hf '(a)+f(a), h→0
f(4)=2 il faut donc calculer f '(4)

Donc f '(4)=0,5
et par conséquent f(4+h)≃(0,5)h+2
4) Notons que √(4,01) = √(4+0,01)
0,01 s'aproche de 0

La fonction x→√(2x - 4) est dérivable au point 4 donc
f(4+0,01)≃0,01f '(4)+f(4)
ou encore √(4,01)≃0,5×(0,01)+2
Ainsi √(4,01) ≃ 2,005

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

1) Déterminer l'approximation affine de f(2+h) au voisinage de 0?
2) Donner une valeur approximative de

Correction

On a f(a+h)≃hf '(a)+f(a) ; h→0 il faut donc calculer f(2) et f '(2)

f '(2)=-0,25 et donc f(2+h)≃-0,25h+0,5
2) 2,005 = 2+0,005 ; 0,005 s'aproche de 0 et la fonction f est dérivable au point 2 donc f(2+0,005)≃0,005f '(2)+f(2) ou encore f(2,005)≃0,005×(-0,25)+0,5
et donc f(2,005) ≃0,49875.