Exercice 1 tp

Soit f et g deux fonctions définies par
f(x) = x³+5x²+7x+13
g(x) = (x²-7x)(3x+5)
h(x) = (x³-3x)(1-5x)
t(x) = (5x³ - 1)²
calculer f'(x) ; g'(x) ; h'(x) et t'(x).

Correction

1) f est une fonction polynôme donc dérivable sur IR. Soit x∈IRbr> f '(x) = (x³+5x²+7x-13)'
= (x³)'+(5x²)'+(7x)-(13)'
= 3x²+5(2.x)+7(1.x°)+0

Donc (∀x∈IR) on a f'(x)=3x²+10x+7.
2) g est le produit de deux fonctions polynômes donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
g '(x) = [(x²+x)(-x-4)]'
= ((2.x+1)(-x-4)+(x²+x)(-1)
= (-2x²-8x-x-4)+(-x²-x)
= -3x²-10x-4
donc (∀x∈IR) on a g '(x) = -3x²-10x-4
3) h est le produit de deux fonctions dérivables sur IR donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
h '(x) = [(x³-3x)(1-5x)]'
= (x³-3x)'(1-5x)+(x³-3x)(1-5x)'

= ((3x²-3)(1-5x)+(x³-3x)(-5)
= (3x²-15x³-3+15x)+(-5x³+15x)
= -20x³+3x²+30x-3
donc (∀x∈IR) on a h '(x) = -20x³+3x²-30x-3
4) t est le carré d'une fonction dérivable sur IR, donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
t '(x) = [(5x³-1)²]'= 2(5x³-1)'(5x³-1)^2-1
= 2(5.3x²)(5x³-1) = 30x².5x³-30x²
donc (∀x∈IR) on a t '(x) = 150x⁵-30x²

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	2x + 5
	x-4

Calculer f'(x)

Correction

f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine de définition D=IR\{4}

Soit x∈D

f '(x) = (	2x+5	)'
	x-4
=	(2x+5)'(x-4)-(2x+5)(x-4)'
	(x-4)²
=	(2)(x-4)-(2x+5)(1)
	(x-4)²
=	- 13
	(x-4)²

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	x²-2x
	x²+1

Calculer f'(x) pour x∈D

Correction

(∀x∈IR) on a x²+1≠0 donc D=IR
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine de définition D=IR

Soit x∈D

f '(x) = (	x²-2x	)'
	x²+1

=	(x²-2x)'(x²+1)-(x²-2x)(x²+1)'
	(x²+1)²
=	(2x-2)(x²+1)-(x²-2x)(2x)
	(x²+1)²

=	2x³+2x-2x²-2-2x³+4x²
	(x²+1)²
=	2x²+2x-2
	(x²+1)²

Donc pour x∈D on a

f'(x) =	2x²+2x-2
	(x²+1)²