Mathématiques du secondaire qualifiant

Limites et Continuité (13)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = 2x/3 - 2 si x ≠ 3
2x - 8
f( 3 ) = β si x = 3

Déterminer β pour que f soit continue au point 3

Correction

On cherche la limite de f au point 3
Notons que 2x/3 = ∛(2x)

Donc f(x) = ∛(2x) - 2
2x - 8

Pour se débarasser de la forme indéterminée , on utilise l'identité remarquable suivante
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + c²) donc


lim
3
f(x) =

lim
3
(∛(2x))³ - 2³
(2x -8)(∛(2x))² + 2.∛(2x) + 4)
=
lim
3
2x - 8
(2x - 8)(∛(2x)² + 2.∛(2x) + 4)
=
lim
3
1
∛(2x)² + 2.∛(2x) + 4)

On a


lim
3
∛(2x))² + 2.∛(2x) + 4 = 4 + 4 + 4
= 12
Donc
lim
3
f(x) = 1
12

Et donc f admet une limite finie au point 3 alors f est continue au point 3

si β = 1
12
Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie sur I = ]0 ; 2[ par

f(x) = (x³-1)sin(1) si x≠1 et f(1)=0
x-1

1) Montrer que (∀x∈I): |f(x)-f(1)|≤3|x-1|
2) Déduire que f est continue en 1

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie comme suit

{ f(x) = √(1+sinx) - 1 si x < 0
x
f(x) = √(1+x) - 1 si x≥0
5

Etudier la continuité de f au point 0

Exercice 4 tp

Soit f est une fonction numérique définie par

{ f(x) = √(1+2cosx)-1 si x≠π/2
x - (π/2)
f(π/2) = -1

1) Calculer


lim
π/2
f(x)

2) f est elle continuité au point π/2 ?