Fonction Logarithme (7)
Rappel
1) Si une fonction u est dérivable et strictement positive sur un intervalle I
alors la fonction f = ln o u est dérivable sur I et on a ∀x∈I
| f '(x) = | u '(x) |
| u(x) |
2) Si une fonction u est dérivable et non nulle sur un intervalle I
alors la fonction f = ln o |u| est dérivable sur I
Et on a ∀x∈I
| f '(x) = | u '(x) |
| u(x) |
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
f(x) = ln(x + 3)
Etudier la dérivabilité de f sur D
Correction
f est définie si x + 3 > 0 ou encore si x>-3
Donc D=]-3;+∞[
On a la fonction x→x+3 est un polynôme donc dérivable et de plus elle est strictement positive sur D
Donc f est dérivable sur D
Et on a ∀x∈D
| f '(x) = | (x+3)' |
| x+3 |
Ainsi ∀x∈D
| f '(x) = | 1 |
| x+3 |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par
f(x) = ln(| x²-3x+2 |)
Etudier la dérivabilité de f sur D
Correction
1) f est définie si | x²+3x+2 | > 0
ou encore si x²+3x+2≠0
On résout l'équation x²+3x+2=0
On a Δ=b²-4ac = 9-8 = 1 > 0
donc l'équation admet deux solutions différentes
| x1 = | -b - √(Δ) | x2 = | -b + √(Δ) | |
| 2a | 2a | |||
| = | -3 - √(1) | = | -3 + √(1) | |
| 2 | 2 |
signifie x1 = -2 et x2 = -1
donc D=]-∞ ; -2[∪]-2 ; -1[∪]-1 ; +∞[
2) La fonction x→x²+3x+2 est non nulle et dérivable sur D donc f est dérivable sur D
Et on a ∀x∈D
| f '(x) = | (x²+3x+2)' |
| x²+3x+2 |
Ainsi ∀x∈D
| f '(x)= | 2x+3 |
| x²+3x+2 |
Exercice 3 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = ln | x-2 |
| x+3 |
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f sur D.