1- الدوال الاصلية لدالة متصلة

1.1 انشطة

نرمز ب F لدالة قابلة للاشتقاق و f دالتها المشتقة يعني F'=f
اتمم الجدول

الدالة x→2x+2 هي الدالة المشتقة
للدالة x→x²+2x+3
في حين الدالة x→x²+2x+3 تسمى دالة اصلية
للدالة x→2x+2
الدالة x→x²+2x+5 هي ايضا دالة اصلية
للدالة x→2x+2
الدالة x→x³ هي دالة اصلية للدالة x->3x²

1.2 تعريف

f دالة معرفة على مجال I
F هي دالة اصلية للدالة f اذا كانت F قابلة للاشتقاق على المجال I و ∀x∈I: F'(x)=f(x)

1.3 خاصيات

1.3.1 خاصية 1

كل دالة متصلة على مجال I تقبل دوال اصلية على I

1.3.2 مثال :

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي :

f(x)=	1
	x²

بين ان f تقبل دوال اصلية على IR وحدد دالة اصلية للدالة f.

تصحيح

f دالة جذرية اذن متصلة على مجموعة تعريفها IR* اذن تقبل دوال اصلية على IR*

f(x)=	1	=(	-1	)'=F'(x)
	x²		x

F:x→	-1
	x

دالة اصلية ل f.

1.3.3 خاصية 2

لتكن f دالة معرفة ومتصلة على I و F دالة اصلية لها
مجموعة الدوال الاصلية للدالة f على I تساوي مجموعة الدوال التي تكتب على الشكل F+k حيث k عدد تابت .

برهان :

لتكن F و G دالتين اصليتين للدالة f على I.
اذن F'(x)=G'(x)=f(x) اي (F-G)'(x)=0 اذن F-G=k وبالتالي F=G+k حيث k∈IR

ملاحظة :

الدوال الاصلية للدالة على الشكل x→xⁿ حيث n∈IN, هي الدوال العددية:

مثال 1:

f(x)= 2x, الدالة F:x→x² هي دالة اصلية للدالة f
لان F'(x)=(x²)'=2x=f(x).
ومنه فان مجموعة الدوال الاصلية للدالة f هي مجموعة الدوال على الشكل x→x²+k حيث k∈IR

مثال 2:

f(x)= 3x²+2, الدالة F:x→x³+2x هي دالة اصلية للدالة f

1.3.4 خاصية 3

لتكن f دالة معرفة ومتصلة على مجال I
a∈I و b∈IR, توجد دالة اصلية وحيدة G للدالة f على I وتحقق الشرط G(a)=b

1.4 نتيجة

لتكن f دالة معرفة ومتصلة على مجال I و F دالة اصلية لها, توجد دالة اصلية وحيدة G للدالة f وتنعدم في a و G(x)=F(x)-F(a)

f(x)= 4x³ اذن F(x)=x⁴ نضع a=2
الدالة الاصلية للدالة f وتنعدم في 2 هي الدالة G المعرفة كما يلي
∀x∈IR: G(x)=F(x)-F(2)= x⁴

2- العمليات على الدوال الاصلية

2.1 خاصيات

لتكن F و G دالتين اصليتين على التوالي ل f و g على مجال I و t عدد حقيقي
F+G هي دالة اصلية للدالة f+g على I
F-G هي دالة اصلية للدالة f-g على I
tF هي دالة اصلية للدالة tf على I
على العموم الدالة الاصلية للدالة f.g ليست هي F.G

ملاحظة

لتكن f دالة متصلة على مجال I و a و b عددين حقيقيين من I
لتكن F دالة اصلية للدالة f على I. الفرق F(b)-F(a) غير مرتبط باختيار دالة اصلية

مثال :

f(x)=3x²+2x; F و G دالتين اصليتين للدالة f على IR.
لدينا F(x)= x³+x² و G(x)=x³+x²+7

نأخذ : a=1 و b=5
F(1)-F(5)=2-150 =-148
G(1)-G(5)=9-157 = -148
اذن F(1)-F(5)=G(1)-G(5)

3- الدوال الاصلية الاعتيادية

الدالة f	الدالة الاصلية F
1	x+k
a	ax+k
sinx	-cosx + k
cosx	sinx +k
asin(ax+b)	-cosx
u'+v'	u+v+k
2u'u	u² + k