Calcul de probabilités (2)
1.3 Hypothèse de l’équiprobabilité
1.3.1 Définition
Lors d'une expérience aléatoire si toutes les éventualités ont la même chance de se produire, on dit qu'il y a équiprobabilité (ou que les issues sont équiprobables).
1.3.2 Propriétés
Si n est le nombre d'issues équiprobables dans une expérience aléatoire (cardΩ = n) alors la probabilité p de chaque issue est définie par
| p = | 1 |
| n |
et on peut calculer la probabilité d'un événement E de la façon suivante
| p(E) = | nombre de résultats favorables |
| nombre de résultats possibles | |
| p(E) = | cardE |
| cardΩ |
Exemple 1
Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
1
2
3
4
5
On tire une boule et on considère l'événement E: le numéro apparant est un nombre supérieur ou égal à 3.
Calculer p(E).
Correction
On a cardΩ=5 et E={3;4;5}
donc p(E) = p(3)+p(4)+p(5)
| p(E) = | 1 | + | 1 | + | 1 | = | 3 |
| 5 | 5 | 5 | 5 |
Exemple 2
Une urne contient une blanche B et une boule verte V. La probabilité de tire une boule blanche est le double de tirer une boule verte.
On tire au hasard une boule.
Calculer p(B) et p(V).
Correction
Ω={B;V} et p(Ω)=p(B)+p(V)=1.
Puisque p(B)=2p(V) donc 2p(V)+p(V)=1
ou encore 3p(V)=1
donc
| p(V) = | 1 | et p(B) = 1- | 1 |
| 3 | 3 | ||
| ainsi p(B)= | 2 |
| 3 |
Remarque
p(B)≠p(V) donc B et V ne sont pas équiprobables.
Exercice 1 tp
Une urne contient 3 boules bleues et deux boules vertes. Les boules sont indiscernables au toucher.
On tire deux boules de l'urne successivement et avec remise.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants
V: tirer deux boules vertes.
B: tirer deux boules bleues.
D: tirer deux boules de même couleur.
Correction
Il y a répétition et l'ordre important dans cette expérience !
il s'agit donc des arrangements avec répétition.
et donc cardΩ = 5.5 = 25.
V: tirer deux boules vertes
| p(V) = | 2² | = | 4 |
| 25 | 25 |
B: tirer deux boules bleues
| p(B) = | 3² | = | 9 |
| 25 | 25 |
D: tirer deux boules de même couleur
p(D)=p(V)+p(B) car (V∩B=∅)
| p(D) = | 2²+3² | = | 13 |
| 25 | 25 |