2- Probabilité conditionnelle

2.1 Activité et Définition

2.1.1 Activité

Un groupe familial de 10 femmes et 12 hommes ont décidé de faire un pique-nique. Les avis divergent entre aller à la plage ou à la montagne et les résultats ont été les suivants

Comme le montre le tableau, les balances étaient à égalité entre les équipes donc la décision est revenue à celui qui'est le plus âgé.
1) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants
F: la décision est revenue à une femme ?
H: la décision est revenue à un homme ?
E: la destination soit à la montagne Sachant que la décision est revenue à une femme.
G: la decision soit prise par un homme sachant que la destination est la plage.

2.1.2 Définition

Soient E et F deux événements de Ω
La probabilité de l'événement E se produit sachant que l'événement F est déja produit est appelée probabilité conditionnelle et est notée p(E|F) ou p_F(E).

On lit probabilité de E sachant F.

Résultat
p(E ∩ F)=p(F).p(E|F)=p(E).p(F|E)

Exercice 1 tp

Soient E et F deux événements.
Si p(E|F)=0,5 et p(E∩F)=0,2 alors calculer p(F).

Exercice 2 tp

Soient E et F deux événements.
Si p(F|E)=0,3 et p(E)=0,5 alors calculer p(E∩F)

Exercice 3 tp

Soient E et F deux événements.
Si p(F)=0,3 ; p(E)=0,7 et p(E∪F)=0,8
alors calculer p(E∩F) puis p(E|F) et p(F|E).

2.2 Formule des probabilités totales

2.2.1 Partition

Les événements U₁ ; U₂ ;...et U_n constituent une partition dans l'univers Ω signifie qu'ils sont disjoints deux à deux et leur union Ω.

2.2.2 Propriété

Probabilité totale: soit E un événement de Ω
p(E)=p(U₁).p(E|U₁)+p(U₂).p(E|U₂) +...+ p(U_n).p(E|U_n).

2.2.3 Exemple

Soient A et B deux pièces de monnaies a noter que A est truquée
c'est à dire la probabilité d'apparition de la face est de ¼.
On choisit au hasard une pièce de monnaie et on la lance.
1) Calculer la probabilité d'apparition de la face.
2) Sachant que la face est apparue alors quelle est la probabilité qu'elle s'agisse de la pièce A ?

Correction
On a

et p(F)=p(A).p(F|A)+p(B).p(F|B)