Calcul de probabilités (7)
3.3 Loi binômiale
3.3.1 Rappel
Si une expérience consiste à répéter n fois la même épreuve et E est un événement dans cette épreuve alors la probabilité que l'événement E se produise exactement k fois avec k≤n est définie comme suit
| C | k n |
(p(E))k.(1-p(E))n-k |
3.3.2 Propriété
Si une expérience consiste à répéter n fois la même épreuve ; E est un événement dans cette épreuve et la variable aléatoire x est définie par le nombre de fois de la réalisation de l'événement E alors
| p(x=k) = | C | k n |
(p(E))k.(1-p(E))n-k |
avec k≤n.
Cette variable aléatoire x est appelée distribution binômiale.
On dit aussi x est la variable aléatoire de paramètres n et p(E).
3.3.3 Propriété
Soit x une distribution binômiale de paramétres n et p(E)
l'espérence mathématique ; la variance et l'écart type sont définis comme suit
| E(x) = | n.p(E) |
| V(x) = | n.p(E).(1-p(E)) |
| σ(x) = | √(V(x)) |
Exemple
Une urne contient 2 jetons bleus et 1 jeton vert, les jetons sont indiscernables au toucher
on tire au hasard 1 jeton.
1) Calculer la probabilité de tirer un jeton vert.
2) On répète cette épreuve 2 fois et on considère la variable aléatoire x définie par le nombre de fois que l'évenement v est réalisé.
Déterminer la loi de probabilité de x.
Correction
| p(V) = | 1 |
| 3 |
x(w) = {0 ; 1 ; 2}.
| p(x=0) = | C | 0 2 |
( | 1 | )0.( | 2 | )2 |
| 3 | 3 |
| ainsi p(x=0) = | 4 |
| 9 |
| p(x=1) = | C | 1 2 |
( | 1 | )1.( | 2 | )1 |
| 3 | 3 |
| ainsi p(x=1) = | 4 |
| 9 |
| p(x=2) = | C | 2 2 |
( | 1 | )2.( | 2 | )0 |
| 3 | 3 |
| ainsi p(x=2) = | 1 |
| 9 |
| xi | 0 | 1 | 2 | Total | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p(x=xi) | 4 | 4 | 1 | 1 | |||
| 9 | 9 | 9 |
x est une variable binômiale de paramètres 2
| et p(V) = | 1 |
| 3 |
Donc
| E(x) = 2. | 1 | = | 2 |
| 3 | 3 |
| V(x) = 2. | 1 | (1- | 1 | ) = | 4 | |
| 3 | 3 | 9 |
| σ(x) = √V(x) = | 2 |
| 3 |