Produit scalaire (8)
Exercice 1 tp
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé
(O;i→;j→;k→).
Soient (S) une sphère d'équation cartésienne
x²+y²+z²-2x+2y=0
et (D) une droite définie par une représentation paramétrique suivante
| (D) | x = 1+t | (t∈ℝ) |
| y = -2+t | ||
| z = -1+t |
1) Déterminer le centre et le rayon de la sphère (S).
2) Montrer que la droite (D) coupe la sphère en deux points A et B.
3) Montrer que le plan ℙ d'équation cartésienne x+y+2=0 est tangente à la sphère (S) au point E qui doit être déterminé.
Correction
1) (S) x²+y²+z²-2x+2y=0
x²-2x=(x-1)²-1.
y²+2y=(y+1)²-1.
donc
x²+y²+z²-2x+2y=0
⇔ (x-1)²+(y+1)²+z²-1-1=0
⇔ (x-1)²+(y+1)²+z²=(√(2))²
et cela signifie que (S) est une sphère de centre W(1;-1;0) et de rayon R=√(2).
2) On résout le système suivant
| M∈(D)∩S ⇔ | x = 1+t | (t∈ℝ) |
| y = -2+t | ||
| z = -1+t | ||
| x²+y²+z²-2x+2y=0 |
donc (1+t)²+(-2+t)²+(-1+t)²-2(1+t)+2(-2+t)=0
⇔ 3t²-4t=0
| ⇔ t=0 ou t= | 4 |
| 3 |
Si t=0 on obtient le point A(1;-2;-1)∈(D)∩(S).
| Si t= | 4 |
| 3 |
| alors | x = | 4 | ; y= | -2 | et z= | 1 |
| 3 | 3 | 3 |
| ainsi | B( | 4 | ; | -2 | ; | 1 | ) |
| 3 | 3 | 3 |
3) ℙ tangente à (S) signifie que d(W;ℙ)=R.
ℙ: x+y+2=0 et W(1;-1;0).
| d(W;ℙ) = | |1-1+2| | = | 2 |
| √(1²+1²+0) | √(2) |
donc d(W;ℙ)= √(2)=R ainsi ℙ est tangente à (S) au point E tel que E est le point d'intersection de la droite (WE) de vecteur directeur n→ et le plan ℙ.
(i) On détermine une représentation paramétrique de la droite (WE).
| (WE) | x=1+t | (t∈ℝ) |
| y = -1+t | ||
| z = t |
(ii) On remplace x ; y et z dans l'équation du plan ℙ.
1+t+(-1+t)+2=0⇔t=-1
donc x=0 ; y=-2 et z=-1
ainsi E(0;-2;-1).
Exercice 2 tp
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé
(O;i→;j→;k→).
On considère une sphère (S) de centre Ω(1;-1;2) et de rayon R=√(3).
1) Déterminer une équation de (S).
2) Montrer que la droite (D) définie par
| x=2+2t | (t∈ℝ) | |
| y = 5t | ||
| z = 1+7t |
est tangente à la sphère (S).