1- توجيه الفضاء الجداء المتجهي

1.1 توجيه الفضاء

1.1.1 تقديم

i^→ و j^→ متجهتان متعامدتان منظمهما يساوي 1
في الفضاء الاعتيادي هناك امكانيتان لاضافة متجهة ثالثة لهما من اجل الحصول على اساس ممتعامد ممنظم في V3
لذلك هناك اساسان B(i^→;j^→;k^→) و B'(i^→;j^→;-k^→)

رجل امبير , هو رجل خيالي راسه في K; وقدماه في O وينظر الى النقطة I, (OIJK) رباعي الوجوه, OI^→=i^→; OJ^→=j^→ و OK^→=k^→
اذا كانت الزاوية (i^→;j^→) موجبة, فان الاساس B مباشر وكل مثلوث من متجهات غير مستوائية (u^→;v^→;w^→) موجهة

1.1.2 خاصية

(i^→;j^→;k^→) اساس مباشر و O نقطة من الفضاء المربوع (O;i^→;j^→;k^→) معلم متعامد ممنظم مباشر
وبالتالي الفضاء موجه.

1.1.3 امثلة

(O;i^→;j^→;k^→) معلم متعامد ممنظم مباشر
(i^→;j^→;k^→) اساس مباشر
(j^→;i^→;k^→) اساس غير مباشر
(j^→;k^→;i^→) اساس مباشر

1.2 الجداء المتجهي

1.2.1 تعريف:

الجداء المتجهي لمتجهتين u^→ و v^→ في الفضاء V3 ونكتب u^→∧v^→, هو متجهة معرفة بما يلي
اذا كانت u^→ و v^→ مستقيميتين فان :
u^→ ∧ v^→ = O^→
اذا كانت u^→ و v^→ غير مستقيميتين فان :
(u^→ ∧ v^→) ⊥ u^→
و (u^→ ∧ v^→) ⊥ v^→
الاساس (u^→ ; v^→ ; u^→ ∧ v^→) مباشر
||u^→ ∧ v^→|| =||u^→||×||v^→||sin(u^→;v^→)

1.2.2 نتائج

مساحة المثلث (ABC) هي :

1	S=||AB→∧AC→||
2

=	1	AB×ACsin(AB→;AC→)
	2

1.2.3 امثلة

i^→∧j^→=k^→; k^→∧j^→=-i^→; k^→∧i^→=j^→ و i^→∧i^→=j^→∧j^→=k^→∧k^→=O^→

1.2.4 التخالفية وتماثلية الخطية

لتكن u^→ و v^→ و w^→ متجهات القضاء V3 و k عدد حقيقي غير منعدم
التخالفية
u^→∧v^→=- v^→∧u^→
تنائية الخطية
u^→∧(v^→+w^→)=u^→ ∧ v^→ + u^→ ∧ w^→
و ku^→∧v^→ = u^→∧(kv^→) = (ku^→)∧v^→
ملاحظة:
التجميعية غير محققة على العموم , اي u^→∧(v^→∧w^→)≠u^→∧v^→)∧w^→

2- الصيغة التحليلية للجداء المتجهي

2.1 احداتيات الجذاء المتجهي لمتجهتين

2.1.1 خاصية

الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O;i^→;j^→;k^→)
u^→(x;y;z) ; v^→(x';y';z') ∈V3
u^→ ∧v^→=
(yz'-zy')i^→-(xz'-zx')j^→+(xy'-yx')k^→

برهان

u^→ ∧ v^→=
(xi^→+yj^→+zk^→)∧(x'i^→+y'j^→+z'k^→)
=xx'i^→∧i^→+xy'i^→∧j^→+xz'i^→∧k^→
+yx'j^→∧i^→+yy'j^→∧j^→+yz'j^→∧k^→
+zx'k^→∧i^→+zy'k^→∧j^→+zz'k^→∧k^→
=xx'O^→+xy'k^→-xz'j^→
-yx'k^→+yy'O^→+yz'i^→
+zx'j^→-zy'i^→+zz'O^→
=(yz'-zy')i^→-(xz'-zx')j^→+(xy'-yx')k^→

اذن
u^→∧v^→=
(yz'-zy')i^→-(xz'-zx')j^→+(xy'-tx')k^→

ملاحظة:

يمكن استعمال جداول المحددات لتذكر الصيغة

u→∧v→=	i→	x	x'
	j→	y	y'
	k→	z	z'

=	y	y'	i→
	z	z'
-	x	x'	j→
	z	z'
+	x	x'	k→
	y	y'
=(yz'-zy')i→-(xz'-zx')j→+(xy'-yx')k→

2.1.2 مثال

لتكن u^→(2;1;0) et v^→(1,2,3)∈V3
حدد u^→∧v^→

تصحيح

u→∧v→ =	i→	2	x1	=
	j→	1	y2
	k→	0	3

	1	2	i→	-		2	1	j→
	0	3				0	3

+	x	x'	k→
	1	2

=3i^→-6j^→+3k^→
u^→∧v^→(3;-6;3)

2.1.3 خاصية 1

ثلاث نقط غير مستقيمية تحدد مستوى متجهته المنظمية AB^→ ∧ AC^→

2.1.4 خاصية 2:

AB^→ ∧ AC^→ = 0^→ ⇔ A و B و C مستقيمية

2.2 مسافة نقطة عن مستقيم

2.2.1 خاصية

B نقطة من الفضاء و D(A ; u^→) مستقيم
لدينا AB^→ ∧ u^→=(AH^→ + HB^→)∧ u^→
= HB^→ ∧ u^→
لان AH^→ و u^→ مستقيميتان اذن

HB =	|| AB→ ∧ u→ ||
	|| u→ ||

2.2.2 امثلة

D(A ; u^→), u^→(2;2;-1) و A(2;1;3) و B(-2;1;3)
لدينا AB^→ ∧ u^→=0i^→-4j^→+8k^→ و ||u^→||=3
اذن