1- Orientation de l’espace - Produit vectoriel

1.1 Orientation de l’espace

1.1.1 Introduction

Soient i^→ et j^→ deux vecteurs orthogonaux de norme 1 dans l'espace usuel E₃. Il y'a deux possibilités de leur adjoindre un troisième vecteur pour obtenir une base orthonormée dans V₃, il existe donc deux bases.

B(i^→;j^→;k^→) et B'(i^→;j^→;-k^→).

1.1.2 Définition

Soit (OIJK) un tétraèdre.
On pose OI^→=i^→; OJ^→=j^→ et OK^→=k^→
Si l'angle (i^→;j^→) est positif alors la base B(i^→;j^→;k^→) est directe.
Et chaque triplet de vecteurs non coplanaires (u^→;v^→;w^→) est orienté et l'espace est donc orienté.

1.1.3 Propriété

Soient B=(i^→;j^→;k^→) une base orthonormée directe et O un point dans l'espace.
Le quadruplet (O;i^→;j^→;k^→) est un repère orthonormé direct.

Exemples
Soit (O;i^→;j^→;k^→) un repère orthonormé direct.
(i^→;j^→;k^→) est une base orthonormée directe.
(j^→;i^→;k^→) est une base orthonormée indirecte.
(j^→;k^→;i^→) est une base orthonormée directe.

1.2 Produit vectoriel

1.2.1 Définition

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs de V₃.
Le produit vectoriel de u^→ et v^→, noté u^→∧v^→ est un vecteur défini par
1) Si u^→ et v^→ sont colinéaires alors u^→∧v^→=O^→.

2) Si u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires alors
(a) (u^→ ∧ v^→)⊥u^→
et (u^→∧v^→)⊥v^→.
(b) La base (u^→;v^→;u^→∧v^→) est directe.
(c) ||u^→∧v^→|| =||u^→||×||v^→||sin(u^→;v^→).

1.2.2 Résultat

Soit S la surface d'un triangle (ABC).

Exemples

1.2.3 Antisymétrie et Bilinéarité

Soient u^→ ; v^→ et w^→ des vecteurs dans V₃ et k un nombre réel non nul.
Antisymétrie u^→∧v^→=- v^→∧u^→
Bilinéarité
u^→∧(v^→+w^→)=u^→ ∧ v^→ + u^→ ∧ w^→
et ku^→∧v^→ = u^→∧(kv^→) = (ku^→)∧v^→

Remarque
L'associativitée n'est pas vérifiée en général
c'est à dire u^→∧(v^→∧w^→)≠(u^→∧v^→)∧w^→.