Mathématiques du secondaire qualifiant

الجداء المتجهي (1)

تمرين 1 tp

الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O;i;j;k). لتكن u(2;1;0) و v(1,2,4) متجهتين
حدد u∧v.

تصحيح
u∧v =i21 =
j 12
k 04
12 i - 21 j
0404
+ 21 k
12

=4i-8j+3k
منه فان u∧v(4;-8;3).

تمرين 2 tp

الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O;i;j;k). لتكن u(2;1;5) و v(1;-2;2) متجهتين.
1) حدد u∧v.
2) تحقق أن (u + v)⊥(u∧v).

تصحيح

u∧v=

1-2 i - 21 j
5252
+ 21 k
1-2

=12i+j-5k
ومنه فان u∧v(12;1;-5).
2) بالتعريف u⊥(u∧v) و v⊥(u∧v)
اذن
(u+v).(u∧v) =
u.(u∧v) + v.(u∧v)=0

وبالتالي (u+v)⊥(u∧v).

تمرين 3 tp

الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O;i;j;k). نعتبر ثلاث نقط
A(1;1;-2) و B(-1;2;2) و C(2;0,5;-4).

1) حدد AB∧AC.
2) استنتج أن A و B و C نقط مستقيمية.

تصحيح

لدينا AB(-2;1;4) و AC(1;-0,5;-2)
AB∧AC=

1-0,5 i - -21 j
4-24-2
+ -21 k
1-0,5

=0i+0j0k
ومنه فان AB∧AC(0;0;0).

2) بما أن AB∧AC=0 فان AB و AC مستقيميتان
وبالاضافة الى ذلك فان A∈(BC) وبالتالي A و B و C مستقيمية.

تمرين 4 tp

الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O;i;j;k). نعتبر ثلاث نقط A(2;1;-2) و B(3;2;2) و C(3;1;0).
1) حدد AB∧AC واستنتج معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
2) احسب مساحة المثلث ABC.

تصحيح

1) لدينا AB(1;1;4) و AC(1;0;2)
AB∧AC=

10 i - 11 j
4242
+ 11 k
10

=2i+2j-k
اذن AB∧AC(2;2;-1)

AB∧AC≠ 0 ومنه فان A و B و C غير مستقيمية
اذن (ABC) مستوى و AB∧AC متجهته منظمية عليه ويقبل معادلة ديكارتية على الشكل
2x+2y-z+d=0 وبما أن A∈(ABC) فان المثلوث (2;1;-2) يحقق المعادلة
اذن 2.2+2.1-(-2)+d=0
يعني 8+d=0 يعني d=-8
اذن 2x+2y-z-8=0 معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
3) مساحة المثلث ABC
S=0,5||AB∧AC|| =0,5√(2²+2²+(-1)²)
=1,5 UA
.