تمرين 1 tp

الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O;i^→;j^→;k^→). لتكن u^→(2;1;0) و v^→(1,2,4) متجهتين
حدد u^→∧v^→.

تصحيح

u→∧v→ =	i→	2	1	=
	j→	1	2
	k→	0	4

	1	2	i→	-		2	1	j→
	0	4				0	4

+	2	1	k→
	1	2

=4i^→-8j^→+3k^→
منه فان u^→∧v^→(4;-8;3).

تمرين 2 tp

الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O;i^→;j^→;k^→). لتكن u^→(2;1;5) و v^→(1;-2;2) متجهتين.
1) حدد u^→∧v^→.
2) تحقق أن (u^→ + v^→)⊥(u^→∧v^→).

تصحيح

u^→∧v^→=

	1	-2	i→	-		2	1	j→
	5	2				5	2

+	2	1	k→
	1	-2

=12i^→+j^→-5k^→
ومنه فان u^→∧v^→(12;1;-5).
2) بالتعريف u^→⊥(u^→∧v^→) و v^→⊥(u^→∧v^→)
اذن
(u^→+v^→).(u^→∧v^→) =
u^→.(u^→∧v^→) + v^→.(u^→∧v^→)=0
وبالتالي (u^→+v^→)⊥(u^→∧v^→).

تمرين 3 tp

الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O;i^→;j^→;k^→). نعتبر ثلاث نقط
A(1;1;-2) و B(-1;2;2) و C(2;0,5;-4).

1) حدد AB^→∧AC^→.
2) استنتج أن A و B و C نقط مستقيمية.

تصحيح

لدينا AB(-2;1;4) و AC(1;-0,5;-2)
AB^→∧AC^→=

	1	-0,5	i→	-		-2	1	j→
	4	-2				4	-2

+	-2	1	k→
	1	-0,5

=0i^→+0j^→0k^→
ومنه فان AB^→∧AC^→(0;0;0).

2) بما أن AB^→∧AC^→=0^→ فان AB^→ و AC^→ مستقيميتان
وبالاضافة الى ذلك فان A∈(BC) وبالتالي A و B و C مستقيمية.

تمرين 4 tp

الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O;i^→;j^→;k^→). نعتبر ثلاث نقط A(2;1;-2) و B(3;2;2) و C(3;1;0).
1) حدد AB^→∧AC^→ واستنتج معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
2) احسب مساحة المثلث ABC.

تصحيح

1) لدينا AB(1;1;4) و AC(1;0;2)
AB^→∧AC^→=

	1	0	i→	-		1	1	j→
	4	2				4	2

+	1	1	k→
	1	0

=2i^→+2j^→-k^→
اذن AB^→∧AC^→(2;2;-1)

AB^→∧AC^→≠ 0^→ ومنه فان A و B و C غير مستقيمية
اذن (ABC) مستوى و AB^→∧AC^→ متجهته منظمية عليه ويقبل معادلة ديكارتية على الشكل
2x+2y-z+d=0 وبما أن A∈(ABC) فان المثلوث (2;1;-2) يحقق المعادلة
اذن 2.2+2.1-(-2)+d=0
يعني 8+d=0 يعني d=-8
اذن 2x+2y-z-8=0 معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
3) مساحة المثلث ABC
S=0,5||AB^→∧AC^→|| =0,5√(2²+2²+(-1)²)
=1,5 UA.