Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 la droite D(A;u^→) passant par A(2;1;3) et de vecteur directeur u^→(2;2;-1).
1) Soit B(1;1;-1) un point dans l'espace.
Déterminer AB^→∧u^→
et déduire la distance de B à (D).
2) Déterminer une équation cartésienne de la sphère (S) de rayon d et de centre B.
3) Est ce que (D) est tangente à (S) ?

Exercice 2 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 trois points A(-2;1;2); B(1;2;3) et C(0;-1;4).
1) Montrer que A; B et C ne sont pas alignés.
2) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
3) Déterminer une équation cartésienne de la sphère (S) de rayon 16√3 et de centre B.

4) Montrer que la droite (AC) est tangente à la sphère (S).
5) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (D)
et déduire les coordonnées du point de contact de la tangente (AC) à (S).

Exercice 3 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 une sphère (S) d'équation x²+y²+z²+2x-2y-8=0
et une droite (D) définie par une représentation paramétrique suivante

1) Déterminer le centre W et le rayon R de la sphère (S).

2) Vérifier que A(2;2,-1)∈(D) et déterminer AW^→∧u^→ et u^→(3;0;-3).
3) Déduire la distance de W à (D).
4) Déterminer la position relative de la droite (D) et la sphère (S).

Correction

1) (S) x²+y²+z²+2x-2y+2z-8=0
⇔ (x²+2x+1)-1+(y²-2y+1)-1+(z²+2z+1)-1-7=0
⇔(x+1)²+(y-1)²+(z+1)²=10
et cela signifie que (S) est une sphère de centre W(-1;1;-1) et de rayon R=√(10).

2) A(2;2,-1)∈(D) signifie que le triplet (2;2;-1) vérifie les équations de la droite.
2=2+3t ; 2=2 et -1=-1-3t signifie t=0 donc t existe ainsi A∈(D).
On a AW^→(-3;-1;0) et u^→(3;0;-3) un vecteur directeur de la droite (D).
AW^→∧u^→ =

=3i^→+9j^→+3k^→ donc AB^→∧u^→(3;9;3).

3) ||u^→|| =√(3²+0²+(-3)²)=3√(2)
||AB^→∧u^→||=√(3²+9²+3²)=3√(11).

4) d(W;(D))<R donc (D) coupe la sphère en deux points E et F.

Pour déterminer E et F
on résout le système suivant

en remplaçant les valeurs de x ; y et z dans l'équation de la sphère
on obtient
(3t+3)²+1+(-3t)²=10 ⇔ t²+t=0 ⇔ t=0 ou t=-1
donc (D) coupe (S) en deux points
(E(2;2;-1) si t=0) et (F(-1;2;2) si t=-1).