Suites numériques (11)
3.2 Suite de la forme (qn) avec q∈IR*
3.2.1 Propriété
1) Si q > 1 alors
lim +∞ |
qn | = +∞ |
2) Si -1 < q < 1 alors
lim +∞ |
qn | = 0 |
3) Si q≤-1 la suite n'a pas de limite.
Exemples
lim +∞ |
2n | = +∞ |
lim +∞ |
( | 3 | )n | = 0 |
| 4 |
lim +∞ |
(-3)n | n'existe pas |
Exercices 1 tp
Calculer les limites suivantes
lim +∞ |
2n -3n |
lim +∞ |
( | 7n+5n | ) |
| 5n-3n | |||
lim +∞ |
( | √(5)+√(2) | )n |
| √(5)+√(3) |
3.3 Suites récurrentes de la forme un+1=f(un)
3.3.1 Propriété
Soient f une fonction continue sur un intervalle I tel que f(I)⊂I ; (un)nn≥p une suite définie par un=f(un) et up∈I.
Si la suite (un) est convergente alors sa limite L est une solution de l'équation f(x)=x.
3.3.2 Suite de la forme un+1=aun+b
Exemple
Soit (un) une suite définie par
| un+1 = | 1 | un -1 et u0 =2 |
| 2 |
1) Montrer que (∀n∈IN): -2<un≤2.
2) Montrer que la suite (un) est décroissante et déduire qu'elle est convergente.
3) Soit f la fonction définie par
| f(x) = | 1 | x-1 |
| 2 |
(a) Montrer que f est continue sur l'intervalle
I=[-2;2] et f(I)⊂I.
(b) Résoudre dans I l'équation f(x)=x.
4) Déterminer la limite suivante
lim +∞ |
(un) |
3.3.3 Suite de la forme
| un+1 = | aun+b |
| cun+d |
Exemple
Soit (un) une suite définie par
| un+1 = | 2un - 1 | et u0 = | 3 |
| un | 2 |
1) Montrer que (∀∈IN): 1≤un≤2.
2) Montrer que la suite (un) est croissante.
Et déduire qu'elle est convergente.
3) Soit f la fonction définie par
| f(x) = | 2x-1 |
| x |
(a) Montrer que f est continue sur l'intervalle
I=[1;2] et f(I)⊂I.
(b) Résoudre dans I l'équation f(x)=x.
4) Déterminer la limite suivante
lim +∞ |
(un) |