Suites numériques (16)
Exercice 1 tp
Soit (un)n≥0 une suite numérique définie par
| { | un+1 | = | 1 | (un+ | 4 | ) | |
| 2 | un | ||||||
| u0 = | 3 |
1) Montrer que (∀n∈IN): un>0.
2) (a) Montrer que
| (∀n∈IN): un+1 -2 = | 1 | . | (un-2)² |
| 2 | un |
(b) Montrer que (∀n∈IN): un>2.
3) (a) Montrer que
| (∀n∈IN): un+1 -2 = | 1 | (un-2)+ | 2 | -1 |
| 2 | un |
(b) Déduire que
| (∀n∈IN): un -2 < ( | 1 | )n |
| 2 |
4) Calculer
lim +∞ |
(un) |
Correction
1) On montre par récurrence la propriété P1
(∀n∈IN): un>0.
Pour n=0 la propriété P1 est vraie car u0=3>0.
On suppose que la propriété P1 est vraie pour n
c'est à dire un>0
et on montre qu'elle est vraie pour n+1
C'est à dire un+1>0.
On a
| un > 0 et | 4 | > 0 |
| un |
donc
| 1 | (un+ | 4 | ) > 0 |
| 2 | un |
Ou encore un+1>0 donc la propriété P1 est vraie pour n+1
ainsi (∀n∈IN): un>0.
2) (a) On a
| un+1-2 = | 1 | (un+ | 4 | ) - 2 |
| 2 | un | |||
| = | 1 | (un+ | 4 | - 4) |
| 2 | un |
| = | 1 | ( | un²-4un+4 | ) |
| 2 | un | |||
| = | 1 | . | (un - 2)² | |
| 2 | un |
| (∀n∈IN): un+1 -2 = | 1 | . | (un-2)² |
| 2 | un |
(b) On montre par récurrence la propriété P2
(∀n∈IN): un>2.
Pour n=0 la propriété P2 est vraie car u0=3>2.
On suppose que la propriété P2 est vraie pour n
c'est à dire un>2 et on montre qu'elle est vraie pour n+1
c'est à dire un+1>2.
On a un>2 ⇔ un-2>0
donc (un - 2)²>0 et un>0
Ou encore
| 1 | . | (un-2)² | > 0 |
| 2 | un |
un+1 -2 > 0
donc la propriété P2 est vraie pour n+1
ainsi (∀n∈IN): un>2.
3) (a) On a
| un+1-2 = | 1 | (un+ | 4 | ) - 2 |
| 2 | un |
| = | 1 | (un+ | 4 | - 4) |
| 2 | un | |||
| = | 1 | (un-2 + | 4 | - 2) |
| 2 | un |
Donc ∀n∈IN
| un+1-2 = | 1 | (un - 2) + | 2 | -1 |
| 2 | un |
(b) On a
| un+1 -2 = | 1 | (un-2)+ | 2 | -1 |
| 2 | un |
| un > 2 ⇒ 0 < | 2 | < 1 |
| un |
| ⇒ -1 < | 2 | - 1 < 0 |
| un |
| 2 | - 1 |
| un |
est négatif donc (∀n∈IN)
| un+1 -2 < | 1 | (un-2) |
| 2 |
| u1 -2 < | 1 | (u0-2) |
| 2 | ||
| u2 -2 < | 1 | (u1-2) |
| 2 | ||
| "" "" | "" | "" "" |
| un -2 < | 1 | (un-1-2) |
| 2 |
On fait la somme membre à membre de deux membres des inégalités et après simplification on obtient
| (∀n∈IN): un -2 < ( | 1 | )n |
| 2 |
4) -1 < 0,5 < 1 donc (0,5)n→0
et on a
| (∀n∈IN): | 0 < un -2 < ( | 1 | )n |
| 2 |
en appliquant le théorème de gendarme on obtient
lim +∞ | (un) | = 0 |