Suites numériques (2)
2- Limite d'une suite
2.1 Limite finie d’une suite
2.1.1 Activités
Exemple 1
Soient C0 =(ABCD) un carré de surface S0=1.
C1 le carré de surface S1 et de sommets
les milieux des cotés de C0 ...
et Cn le carré de surface Sn et de sommets
les milieux des cotés de Cn-1.
| Carré | C0 | C1 | C2 | .. | Cn | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Indice | 0 | 1 | 2 | .. | n | ||||
| Surface | 1 | 1 | 1 | .. | 1 | ||||
| 4 | 4² | 4n-1 |
(Sn) est une suite géométrique de raison 1/4.
Quand n prend une grande valeur le carré est proche devenir un point. La surface est donc proche de 0
et on dit que la limite de la suite (Sn) est égale à 0.
| On écrit | lim +∞ |
(Sn) = 0 |
Exemple 2
Compléter le tableau suivant
| n | 10² | 10³ | 104 | ... | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,01 | .. | .. | .. | 0 | |
| n | ||||||
| 1 | 0,0001 | .. | .. | 0 | ||
| n² |
| n | 10² | 10³ | 104 | ... | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | .. | .. | .. | .. | 0 | |
| n³ | ||||||
| 1 | 0,1 | .. | .. | .. | 0 | |
| √n | ||||||
| 1 | .. | .. | .. | .. | 0 | |
| np |
Plus la valeur n est élévée, plus la valeur du terme général diminue et tend vers 0.
2.1.2 Définition
Une suite (un) admet pour limite 0 si tout intervalle ouvert contenant 0, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
| on écrit | lim +∞ |
(un)n∈I | = 0 |
autre définition
lim +∞ |
(un)n∈I | = 0 ⇔ (∀ε>0)(∃N∈IN)(∀n≥N): un∈]-ε;+ε[ |
Résultat
lim +∞ |
(un)n∈I | = L ⇔ | lim +∞ |
(un)n∈I -L= 0 |
2.1.3 Théorème de l'unicité de la limite
Si une suite numérique admet une limite finie alors cette limite est unique.