Suites numériques (4)
Exercice 1 tp
Soit (un) une suite numérique définie par
un+1=√(2+un) et u0=7.
1) Montrer que (∀n∈IN): 2≤un≤7.
2) Etudier la monotonie de la suite (un) et déduire qu'elle est convergente.
3) Montrer que (∀n∈IN)
| un+1 - 2 | ≤ 0,25| un-2 |
et déduire que
(∀ n∈IN): | un -2 | ≤ 5.(0,25)n.
| 4) Calculer | lim +∞ | (un) |
Correction
1) Montrons par récurrence que la propriété P(n): (∀n∈IN) on a 2≤un≤7 est vraie.
Pour n=0 on a 2≤u0=7≤7 donc P(n) est vraie pour n=0.
Supposons que P(n) est vraie pour n et montrons qu'elle est vraie pour n+1.
On a 2≤un≤7
⇔ 2+2 ≤ un+2 ≤ 7+2
⇔ √(4) ≤ √(2+un) ≤ √(9)
⇔ 2 ≤ un+1 ≤ 7
donc P(n) est vraie pour n+1.
On déduit donc que (∀n∈IN): 2≤un≤7.
Remarque On peut montrer premièrement l'inégalité 2≤un
puis on montre l'inégalité un≤7.
2) On étudie la monotonie de (un) pour cela on étudie le signe de un+1-un.
un+1-un = √(2+un)-un
| = | √(2+un)²-un² | = | -(un²-un-2) |
| √(2+un)+un | √(2+un)+un |
un+1-un est de signe de -(un²-un-2)
On pose un=x et on factorise le trinôme
x²-x-2
Δ=b²-4ac=1+8 = 9 > 0
| x1 = | -b-√Δ | x2 = | -b+√Δ | |
| 2a | 2a | |||
| x1 = | -(-1)-√(9) | x2 = | -(-1)+√9 | |
| 2.1 | 2.1 |
x1 = -1 et x2 = 2
Donc
| un+1-un = | -(un+1)(un-2) |
| √(2+un)+un |
En utilisant la question 1 on obtient un-2≥0 ; un+1≥0 ;
√(2+un)+un>0
donc (un+1)(un-2)≥0
ou encore -(un+1)(un-2)≤0
ainsi un+1-un≤0
et cela signifie que (un) est décroissante.
Puisqu'elle est décroissante et minorée par 2 alors elle est convergente.
3) On montre que (∀n∈IN)
|un+1-2|≤0,25|un-2|.
On a |un+1-2|=|√(2+un)-2|
= |(√(2+un)²-2²)(un+2)-1|
= |(un-2)(un+2)-1|.
2≤un≤7 ⇔
4≤un+2≤9
⇔ √4≤√(un+2)≤√9
⇔ 2+2≤√(un+2)+2≤3+2
⇔ 5-1≤√(un+2)+2)-1≤4-1=0,25
et donc (∀n∈IN) on a
|un+1-2|≤0,25|un-2|.
|u1-2|≤0,25|u0-2|
|u2-2|≤0,25|u1-2|
...
|un-1-2|≤0,25|un-2-2|
|un-2|≤0,25|un-1-2|
on fait le produit membre à membre de ces inégalités.
Après simplification
on obtient
|un-2|≤(0,25)n.|u0-2|
donc |un-2|≤5.(0,25)n
et puisque 0<0,25<1 alors
lim +∞ | (0,25)n = 0 |
| donc | lim +∞ | (un - 2) = 0 |
| ainsi | lim +∞ | (un) = 2 |