Suites numériques (6)
2.3 Opérations sur les limites des suites
2.3.1 Propriétés
Soient (un) et (un) deux suites numériques convergentes (qui admettent des limites finies en +∞) et k∈IR.
lim +∞; |
(un+vn) | = | lim +∞ |
(un)+ | lim +∞ |
(un) |
lim +∞ |
(un x vn) | = | lim +∞ |
(un) x | lim +∞ |
(vn) |
lim +∞ |
k(un) | =k | lim +∞ |
(un) |
| Si | lim +∞ |
(vn) | ≠ 0 |
alors
lim +∞ |
un | = | lim +∞ |
(vn) |
| vn | lim +∞ |
(vn) |
Exemple
Soit (un)n∈IN* une suite numérique définie par
| un = | n³ - 1 |
| n |
lim +∞ |
(un) = | lim +∞ |
n³-1 | |
| n | ||||
| = | lim +∞ |
n³ | - | 1 |
| n | n |
| = | lim +∞ |
n² | - | 1 |
| n |
on a
lim +∞ |
n² | = +∞ | lim +∞ |
1 | = 0 | |
| n |
| ainsi | lim +∞ |
(un) | = + ∞ |
2.3.2 Elargir le concept de la limite
Soient (un)n∈I et (vn)n∈I deux suites numériques
1) La somme
lim +∞ |
(un) | lim +∞ |
(vn) | lim +∞ |
(un + vn) | ||
| L | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | ||
| -∞ | -∞ | -∞ | |||||
| +∞ | -∞ | ╳ | |||||
| -∞ | +∞ | ╳ | |||||
2) Le produit
lim +∞ |
(un) | lim +∞ |
(vn) | lim +∞ |
(un x vn) | ||
| L< 0 | -∞ | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | ||
| +∞ | -∞ | -∞ | |||||
| 0 | +∞ | ╳ | |||||
| -∞ | -∞ | +∞ | |||||
3) Le quotient
lim +∞ |
(un) | lim +∞ |
(vn) | lim +∞ |
(un) | ||
| (vn) | |||||||
| L | L'≠0 | L | |||||
| L' | |||||||
| L > 0 | 0+ | +∞ | |||||
| L > 0 | 0- | -∞ | |||||
| +∞ | +∞ | ╳ | |||||
lim +∞ |
(un) | lim +∞ |
(vn) | lim +∞ |
(un) | ||
| (vn) | |||||||
| +∞ | 0+ | +∞ | |||||
| 0 | 0 | ╳ | |||||
╳ signifie Forme indéterminée.