Suites numériques (8)
Exercice 1 tp
Soit (un)n∈IN* une suite numérique définie par
| un = | -n+(-1)n |
| √(n) |
| Calculer | lim + ∞ |
(un) |
Correction
(∀n∈IN): (-1)n≤1
ainsi -n+(-1)n≤-n + 1
puisque √(n)>0 car n∈IN* alors
| -n + (-1)n | ≤ | -n + 1 |
| √(n) | √(n) |
On a
| - n + 1 | = - √(n) + | 1 |
| √(n) | √(n) |
| lim + ∞ |
1 | = 0 |
| √(n) |
puisque
lim + ∞ |
- √(n) = -∞ |
alors
lim + ∞ |
(un) = -∞ |
Exercice 2 tp
Soit (un) une suite numérique définie par
| un = | 1 |
| x+cos²n |
Calculer
| lim + ∞ |
(un) |
Correction
(∀n∈IN): cos²n≥0 donc n+cos²n≥n
Notons que si vn≤un≤ wn
| et | lim +∞ |
vn = | lim +∞ |
wn |
alors
lim +∞ |
un = | lim +∞ |
vn |
Ou encore
lim +∞ |
un = | lim +∞ |
wn |
d'une part
| 1 | ≤ | 1 |
| n+cos²n | n |
et d'autre part
| lim + ∞ |
1 | = 0 |
| n |
n→ +∞ donc n est strictement positif.
Puisque
| 1 | > 0 | |
| n + cos²n |
alors
lim + ∞ |
un = 0 |