Suites numériques (7)
Exercice 1 tp
Soit (un) une suite définie par
| ∀n∈IN, un+1= | 2un-1 | et u0= | 3 |
| un | 2 |
1) (a) Montrer que (∀n∈IN): 1≤un≤2
(b) Etudier la monotonie de la suite (un)
(c) Déduire que (un) est convergente
2) Soit f une fonction définie sur I=[1;2] par
| f(x) = | 2x-1 |
| x |
(a) Montrer que f est continue sur I et f(I)⊂I
(b) Résoudre dans I l'équation f(x)=x
3) Calculer
lim +∞ | (un) |
Correction
1) (a) On désigne par P(n), la propriété
(∀∈IN): 1 < un < 2
Pour n=0 la propriété P(n) est vraie car
| 1 < | 3 | < 2 |
| 2 |
⇔ 1 ≤ u0 ≤ 2
On suppose que P(n) est vraie et on montre qu'elle est vraie pour n+1
On montre d'abord 1 ≤ un+1
| un+1 - 1 = | 2un - 1 | - 1 |
| un |
| = | 2un - 1 - un | = | un - 1 |
| un | un |
En utilisant la supposition (1 ≤ un)
on déduit que un - 1 ≤ 0
On a de plus un > 0 donc un+1 - 1 ≤ 0
Et donc (∀n∈IN) on a un ≤ 1
Il reste à montrer que un ≤ 2
| un+1 - 2 = | 2un - 1 | - 2 |
| un |
| = | 2un - 1 - 2un | = | -1 |
| un | un |
On a un > 0 et -1 < 0
donc un+1 - 2 < 0 ≤ 0
Et donc (∀n∈IN) on a un ≤ 2
Ainsi (∀n∈IN) on a 1 ≤ un ≤ 2
(b) Monotonie de la suite (un), soit n∈IN
| un+1 - un = | 2un - 1 | - un |
| un |
| = | 2un - 1 - un² | = | -(un² - 2un + 1) |
| un | un |
En posant X = un on obtient le trinôme T(x)=X²-2X+1 ou encore T(x)=(X-1)²
| Donc un+1 - un = | -(un - 1)² |
| un |
On a (∀n∈IN): (un - 1)² ≥ 0
Et donc -(un - 1)² ≤ 0
et de plus un > 0
alors
(∀n∈IN): un+1 - un ≤ 0
et cela signife que la suite (un) est décroissante
(c) Puisque la suite (un) est décroissante et minorée alors elle est convergente
2) (a) f est la restriction d'une fonction rationnelle donc continue et dérivable sur son ensemble de définition IR* et en particulier sur I=[1 ; 2] . Soit x∈I
| f '(x) = | 2x-(2x-1) | = | 1 |
| x² | x² |
Donc (∀x∈I) on a f'(x) > 0 et donc f est sterictement croissante sur I<
| f(I)=[f(1) ; f(2)] = [ 1 ; | 3 | ] |
| 2 |
Donc f(I)⊂I
Soit x∈I on a f(x) = x ⇔
| 2x-1 | = x ⇔ x² = 2x - 1 |
| x |
⇔ x² - 2x + 1 = 0
⇔ (x - 1)² = 0
⇔ x = 1
1∈I donc S = { 1 }
(c) f est continue sur I et f(I)⊂I
la suite (un) est convergente et de la forme un+1= f(un) et on a u0∈I
donc la limite de la suite (un)
est une solution de l'équation f(x)=x
| ainsi | lim +∞ | (un) = 1 |