تمرين 1 tp

مسألة البرمجة الخطية
جمعية نسوية تصنع نوعين من الزرابي T₁ و T₂ خلال النهار تستعمل الآلة وخلال الليل تستعمل اليد وخصصت لذلك ميزانية تقدر ب 5000 درهم للمواد الاولية 15000 درهم لليد العاملة وكل زربية تحقق مكاسب قدرها 750 درهم
علما ان كل زربية من نوع T₁ تتطلب 2000 درهم للمواد الاولية و 3000 درهم لليد العاملة وكل زربية من النوع T₂ تتطلب 1000 درهم للمواد الاولية و 4000 درهم لليد العاملة
كم زربية من كل نوع يمكن صناعتها لتحقيق اقصى ربح ممكن ؟

تصحيح

نعين ب x و y لعدد الزرابي على التوالي من نوع T₁ و T₂

النوع	T1	T2	المجموع
المواد الاولية	2000/1	1000/1	5000
اليد العاملة	3000/1	4000/1	15000

المواد الاولية ممثلة بالمتراجحة
2000x + 1000y ≤ 5000
واليد العاملة ممثلة بالمتراجحة
3000x + 4000y ≤ 15000
ولدينا بالطبع x>0 و y>0 اعداد طبيعية

الزوج (x ; y) يحقق النظمة التالية

{	2000x + 1000y ≤ 5000
	3000x + 4000y ≤ 15000
	x>0 ; y>0

التي تكافئ

(S) : {	2x + y ≤ 5
	3x + 4y ≤ 15
	x>0 ; y>0

أولا ننشئ المستقيمين
(D): 2x + y - 5 = 0
(D'): 3x + 4y - 15 = 0
نحل النظمة التالية لمعرفة نقطة تقاطع المستقيميين

{	2x + y - 5 = 0
	3x + 4y - 15 = 0

نستعمل طريقة التعويض اذن

{	y = -2x + 5
	3x + 4(-2x + 5) - 15 = 0

يعني

{	y = -2x + 5
	-5x + 5 = 0

يعني

{	y = -2.1 + 5 = 3
	x = 1

ومنه فان (D) ∩ (D') = {A(1 ; 3)

حلول النظمة (S)
هي مجموعة ازواج احداثيات نقط الجزء المحدد بالرباعي OَAEF
وكل نقطة M(x ; y) تمثل ربح ممكن نرمز له ب b
لدينا 750x + 750y = b هذا التعبير وحسب قيم b يمثل معادلة لمستقيمات (d) متوازية وتخترق الرباعي OAEF
والربح يكون أقصوى ما يمكن في اعلى نقطة تقاطع احدى هذه المستقيمات والرباعي مع شرط ان تكون احداتياتها مكونة من اعداد طبيعية وفي هذه المسألة هذه النقطة هي E(1;3).

ينبغي اذن صناعة زربية واحدة من النوع T₁
و 3 من النوع T₂
اذن اقضى ربح ممكن هو
b = 750×1+750×3
وبالتالي b = 3000 درهم.