المعادلات والمتراجحات والنظمات (9)
2.2 المعادلة من الدرجة الثانية
2.2.1 تعريف
المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد
تكتب على الشكل
ax²+bx+c=0
حيث a و b و c أعداد معلومة و a≠0.
العدد Δ=b²-4ac يسمى مميز المعادلة.
مثال 1
2x²-3x+1=0 معادلة من الرتبة 2
| a = 2 | b = -3 | c = 1 |
Δ=(-3)²-4.2.1=9-8 اذن Δ=1.
مثال 2
-x²+5x-7=0
معادلة من الرتبة 2.
| a = -1 | b = 5 | c = -7 |
Δ=5²-4.(-1).(-7)=25-28
اذن مميز المعادلة
Δ=-3.
مثال 3
2x²+20x+50=0 معادلة من الرتبة 2
| a = -2 | b = 20 | c = 50 |
Δ=20²-4.2.50=400-400
اذن مميز المعادلة
Δ=0.
2.2.2 تعميل ثلاثية الحدود T(x)=ax²+bx+c وحلول المعادلة T(x)=0
لتكن T(x)=ax²+bx+c ثلاثية الحدود (a≠0) مميزها Δ=b²-4ac.
1) اذا كان Δ=0
| T(x) = a(x+ | b | )² |
| 2a |
ومنه فان المعادلة ax²+bx+c=0 تقبل حلا مزدوجا x1.
| x1 = | - b |
| 2a |
2) اذا كان Δ>0
| T(x) = a(x- | -b-√(Δ) | )(x- | -b+√(Δ) | ) |
| 2a | 2a |
ومنه فان المعادلة T(x)=0 تقبل حلين مختلفين.
| x1 = | - b - √(Δ) | x2 = | - b + √(Δ) | |
| 2a | 2a |
ونعمل ثلاثية الحدود T(x) على الشكل التالي
T(x)=a(x-x1)(x-x2).
3) اذا كان Δ<0
فان T(x) لا تعمل
وبالتالي المعادلة T(x)=0 ليس لها أي حل في IR.
2.2.3 خاصيات
لتكن a و b و c
أعداد حقيقية حيث
a≠0 و S مجموعة حلول المعادلة
(E): ax²+bx+c=0 و Δ=b²-4ac مميزها.
1) اذا كان Δ=0
المعادلة (E)
تقبل حلا مزدوجا.
| S = { | -b | } |
| 2a |
2) اذا كان Δ>0 فان المعادلة (E) تقبل حلين مختلفين.
| S = { | - b - √(Δ) | ; | - b + √(Δ) | } |
| 2a | 2a |
3) اذا كان Δ<0
فان المعادلة (E) ليس لها حلول في IR
ونكتب S=∅.