1.2 العمليات في ℝ

1.2.1 أنشطة

1) احسب a=12+5+15.

1.2.2 خاصيات الجمع +

لتكن a; b; c ; d أعداد حقيقية.
1) التبادلية
a+b=b+a.
2) التجميعية
(a+b)+c= a+(b+c).
3) العنصر المحايد 0
a+0=a و 0+a=a.
4) العنصر المماثل
a+(-a)=0 و (-a)+a=0

ملاحظة a-b= a+(-b)=-b+a.

أمثلة
1) 7+15=22 و 15+7=22
اذن 7+15=15+7.
2) 13-5=13+(-5)=8 و -5+13=8
اذن 13-5=-5+13.
3) (2+8)+4=10+4=14
و 2+(8+4)=2+12=14
اذن (2+8)+4=2+(8+4)=2+8+4.

1.2.3 عمليات الضرب ×

لتكن a و b و c أعداد حقيقية.
1) التبادلية a×b=b×a.
2) التجميعية a×(b×c)=a×(b×c).
3) العنصر المحايد a×1=1×a=a.
4) العنصر المماثل اذا كان a≠0 فان

5) التوزيعية
a×(b+c)=a×b+a×c
(b+c)×a=b×a+c×a .

أمثلة
1) 8×15 =120 15×8=120
اذن 8×15=15×8.
2) 25×1=25 و 1×25=25
اذن 25×1=25=1×25=25.
3) (2×7)×5=14×5=70 و 2×(7×5)=2×35=70
اذن (2×7)×5=2×(7×5)=2×7×5.
4) 10×(20+17)=10×37=370
و (10×20)+(10×17)=200+170=370.
اذن 10×(20+17)=(10×20)+(10×17).

1.2.4 خاصية

ليكن a و b عددين حقيقين.
a×b=0 يعني a=0 أو b=0.

1 مثال

اذا كان b≠0 فان

مثال 1

2 مثال
(a-2)(b-5)=0 بعني ان (a-2=0 أو b-5=0 )
يعني أيضا (a=2 أو b=5).

3 مثال
7(a-5)=0 يعني ان (7=0 أو a-5=0)
وبما ان 7≠0
فان 7(a-5)=0 يعني a=5.