Opérations dans IR et propriétés (3)
1.2 Opérations dans ℝ
1.2.1 Activité
Calculer
a=12+5+15
| b = | 1 + | 3 | |
| 2 | |||
| c = | -4 + | 2 | |
| 5 | |||
| d = | 1 | + | 5 |
| 4 | 4 |
| u = | 15 | - | 3 |
| 7 | 2 |
| v = 2 | × | 7 | |
| 2 | |||
| w = | 2 | × | 3 |
| 9 | 5 |
1.2.2 Operations de la somme +
Soient a; b; c et d des nombres réels.
1) Commutativité
a+b=b+a.
2) Associativité
(a+b)+c=a+(b+c).
3) Elément neutre 0
a+0=a et 0+a=a.
4) Elément symétrique
a+(-a)=0 et (-a)+a=0.
Remarque a-b= a+(-b)=-b+a.
Exemples
1) 7+15=22 et 15+7=22
donc 7+15=15+7.
2) 13-5=13+(-5)=8 et -5+13=8
donc 13-5=-5+13.
3) (2+8)+4=10+4=14
et 2+(8+4)=2+12=14
donc (2+8)+4=2+(8+4)=2+8+4.
1.2.3 Opérations du produit ×
1) Commutativité a×b=b×a.
2) Associativité a×(b×c)=a×(b×c).
3) Elément neutre 1 a×1=1×a=a.
4) Elément symétrique si a≠0 alors a admet un inverse
| a × | 1 | = | a | = 1 |
| a | a |
5) Distributivité
a×(b+c)=a×b+a×c
et (b+c)×a=b×a+c×a.
Exemples
1) 8×15=120 et 15×8=120
donc 8×15=15×8.
2) 25×1=25 et 1×25=25
donc 25×1=1×25=25.
3) (2×7)×5=14×5=70
et 2×(7×5)=2×35=70
donc (2×7)×5=2×(7×5)=2×7×5.
4) 10×(20+17)=10×37=370
et (10×20)+(10×17)=200+170=370.
donc 10×(20+17)=(10×20)+(10×17).
1.2.4 Propriété
Soient a et b deux nombres réels.
a×b=0 signifie a=0 ou b=0.
| si b≠0 | a | = a× | 1 |
| b | b |
Exemple 1
| 7 | = 7 × | 1 |
| 4 | 4 |
| -5 | = -5 × | 1 |
| 3 | 3 |
Exemple 2
(a-2)(b-5)=0 signifie a-2=0 ou b-5=0
signifie a=2 ou b=5.
Exemple 3
7(a-5) = 0 signifie 7=0 ou a-5=0
7≠0 alors
7(a-5)=0 signifie a=5.