Mathématiques du secondaire qualifiant

(1) IR الترتيب في المجموعة

1- الترتيب والعمليات

1.1 انشطة

قارن بين العددين a و b في كل من الحالات التالية
1) a=12,15 و b=12.149.

2) 1 و 1
4 3

3) a=√48 و b=7.

a=2√( 2 ) و b=√(1+ 5 ) (4
3 3

تصحيح
لمقارنة عددين يكفي دراسة اشارة فرقهما.
1) a-b=12,15-12,149=0,001 وبما ان 0,001 عدد موجب فان 12,15>12,149.
2) نوحد مقام العددين

1 - 1 = 3 - 4
4 3 12 12
= -1 < 0
12

اذن a<b.
3) لمقارنة a=√48 و b=7 يكفي مقارنة مربعيهما
a²=(√48)²=48 و b²=7 =49
وبما ان 49>48 فان b>a.
4) بالنسبة لهذا السؤال نلاحظ ان

b = √(1 + 5 ) = √(( 3 + 5 )
3 3
= √( 8 ) = 2√( 2 )
3 3

لان √8=2√2 اذن a=b.

1.2 تعاريف

ليكن x و y عددين حقيقيين.

y-x∈IR+ يعني x ≤ y
x-y∈IR+ يعني x ≥ y
y-x∈IR+* يعني x < y
x-y∈IR+* يعني x > y

1.3 خاصيات

1.3.1 خاصيات الجمع

لتكن x و y و z و α أعداد حقيقية.
(a) x≤y يكافئ x+z≤y+z.
(b) اذا كان (x≤y) و (z≤α) فان x+z≤y+α.
(c) اذا كان (x≤y) و (y≤z) فان x≤z

امثلة

1) √7<√10 يكافئ 3+√7<3+√10.
2) 4>2 و √3<3 اذن 2+√3<7.
3) 3<10 و 10<13 اذن 3<13.

1.3.2 خاصيات الجداء

1) لتكن x و y و z و α أعداد حقيقية.
(a) x≤y و z>0 يكافئ z.x≤z.y.
(b) x≤y و z<0 يكافئ z.x≥z.y.
2) نفترض ان الأعداد x و y و z و α موجبة اذن
اذا كان (x≤y) و (z≤α) فان z.x≤α.y.

امثلة
1) 4≤5 يكافئ 2.4≤2.5 لان 2>0.
2) √2<3 يكافئ -5.√2 > -5.3
لان -5<0 اذن -5.√2>-15.

3) 7≤10 و 2≤3 اذن 14≤30.

للتذكير
(a) ليكن x و y عددين حقيقيين موجبين.
x≤y يكافئ x²≤y².
(b) ليكن x و y عددين سالبين.
x≤y يكافئ x²≥y².

(c) ليكن x و y عددين غير منعدمين ولهما نفس الاشارة.

x ≥ y يعني 1 1
x y
تمرين 1 tp

قارن العددين a و b في كل حالة من الحالات التالية
1)

a = 9 b = 7
5 4

2) a=3√5 و b=5√3.
3) a=2+3√5 و b=3+2√5.