Exercice 1 tp

Comparer a=√(8-2√(7)) et b=1-√(7).

Correction

On remarque que 1<√(7) ou encore 1-√(7)<0
et puisque a>0 alors a>b.

Si on compare leurs carrés
alors a²=b²=8-2√(7).
on sait que
(a²=b²) équivaut à (a=b ou a=-b)
et puisque a>0 et b<0 alors b=-a.

Exercice 2 tp

comparer a=√(17)
et b=√(10+√(7)).

Exercice 3 tp

Comparer

A =	2 - √(3)
	√(3) - 1
B =	√(3) - 1
	√(3) + 1

Exercice 4 tp

Soit x∈IR
A=(2x+1)²+1 et B=(2x-1)²+1.
1) Déterminer la valeur de x
sachant que A=B.

2) Comparer A et B dans chacun des cas suivants
(a) x∈]0;+∞[.
(b) x∈]-∞;0[.

Correction

1) A=B signifie (2x+1)²+1=(2x-1)²+1
signifie (2x+1)²=(2x-1)²
signifie (2x+1=2x-1 ou 2x+1=-(2x-1))
signifie (1=-1 ou 2x=-2x)
1=-1 est impossible donc 2x=-2x
ou encore 4x=0 ainsi x=0.
2) A-B=(2x+1)²+1-((2x-1)²+1)
=(2x+1)²-(2x-1)²
=(2x+1+2x-1)(2x+1-2x+1)=4x(2)
donc A-B=8x.

(a) si x∈]0;+∞[ alors 8x>0
donc A-B>0 ainsi A>B.
(b) si x∈]-∞;0[ alors 8x<0
donc A-B<0 ainsi A<B.

Exercice 5 tp

Soit x∈IR
A=(3x+3)²-2 et B=(x+5)²-2.
1) Déterminer les valeurs de x sachant que A=B.

2) Comparer A et B dans chacun des cas suivants
(a) x∈]-∞;-2[.
(b) x∈]-2;1[.
(c) x∈]1;+∞[.

Correction

1) A=B signifie (3x+3)²-2=(x+5)²-2
signifie (3x+3)²=(x+5)²
signifie (3x+3=x+5 ou 3x+3=-(x+5))
signifie (2x=2 ou 4x=-8)
donc (x=1 ou x=-2).

2) A-B=(3x+3)²-2-(x+5)²+2
=(3x+3)²-(x+5)²
=(3x+3+x+5)(3x+3-(x+5))
=(4x+8)(2x-2)=8(x+2)(x-1).
(a) x∈]-∞;-2[ signifie x<-2
signifie x+2<0
et x-1<-2-1 signifie x-1<-3.
x+2 et x-1 sont négatifs
alors (x+2)(x-1)>0 ainsi A>B.

(b) x∈]-2;1[ signifie -2<x<1
signifie -2+2<x+2<1+2
signifie 0<x+2<3
et -2<x<1 signifie -2-1<x-1<1-1
signifie -3<x-1<0
donc (x+2)(x-1)<0 ainsi A<B.
(c) x∈]1;+∞[ signifie x>1
signifie x+2>1+2 signifie x+2>3
et x>1 signifie x-1>1-1
signifie x-1>0
donc (x+2)(x-1)>0 ainsi A>B.