3- تساوي متجهتين و شرط استقامية متجهتين

3.1 تساوي متجهتين

3.1.1 خاصية

نقول ان متجهتين متساويتان اذا كان لهما نفس الأفصول ونفس الأرتوب.

3.1.2 مثال

المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). نعتبر في ℙ النقط A(1;-1) و B(3;4) و C(5;2) و D(3;-3).
1) بين ان AB^→=DC^→.
2) استنتج طبيعة الرباعي ABCD.

تصحيح
1) لدينا AB^→(3-1;4-(-1)) اذن AB^→(2;5)
و DC^→(5-3;2-(-3)) اذن DC^→(2;5)
وبالتالي AB^→ و DC^→ متساويتان.

2) بما ان AB^→=DC^→ فان ABCD متوازي اضلاع.

تمرين 1 tp

المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). نعتبر في ℙ النقط E(4;1) و F(7;3) و G(2;-1) و H(-1;-3).
1) حدد EF^→ و HG^→.
2) ماذا يمكن القول عن الرباعي EFGH ?

3.2 شرط استقامية متجهتين

3.2.1 تعريف

نقول ان متجهتين مستقيميتان اذا كان لهما نفس الاتجاه.

3.2.2 خاصية

المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→).
u^→(a;b) و v^→(a';b') متجهتان مستقيميتان يعني يوجد عدد حقيقي k بحيث v^→=ku^→.

وبعبارة أخرى u^→(a;b) و v^→(a';b') مستقيميتان يعني a'=ka و b'=kb بحيث k∈IR.

يعني

a'	=	b'	= k	/ (a≠0 و b≠0)
a		b

مثال 1
المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). لتكن u^→(2;1) و v^→(4;5) متجهتين.
هل u^→ و v^→ مستقيميتان ?

اذا كانت u^→ و v^→ مستقيميتين فانه يوجد عدد حقيقي k
بحيث v^→=ku^→.
يعني (4=2k و 5=k)
اذن (k=2 و k=5) وهذا مستحيل اذن لا يوجد k
وبالتالي u^→ و v^→ غير مستقيميتان.

مثال 2
المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). لتكن u^→(-5;4) و v^→(10;-8) متجهتين.
هل u^→ و v^→ مستقيميتان ?

اذا كانت u^→ و v^→ مستقيميتين فانه يوجد عدد حقيقي k
بحيث v^→=ku^→
يعني (10=-5k و -8=4k)
يعني (k=-2 و k=-2) اذن يوجد عدد حقيقي k=-2
بحيث v^→ = -2u^→
وبالتالي u^→ و v^→ مستقيميتان.