2- Equation d'une droite

2.1 Droite définie par un point et un vecteur directeur

2.1.1 Introduction

Rappel
Deux vecteurs u^→ et v^→ sont colinéaires signifie qu'il existe un nombre réel k tel que v^→=ku^→.

1) Un vecteur qui représente la direction d'une droite (D) est appelé vecteur directeur de (D).

2) Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ une droite (D) passant par un point A(x_A;y_A) et de vecteur directeur u^→(α;β).

M(x;y)∈(D) signifie det(AM^→;u^→)=0
signifie (x-x_A)α-(y-y_A)β=0
signifie αx-βy-(αx_A-βy_A)=0
On pose α=a ; -β=b et -(αx_A-βy_A)=c
donc M∈(D) signifie ax+by+c=0.

Définition
Soient x et y deux variables réels inconnus
a ; b et c trois nombres réels.
L'équation ax+by+c=0 est appelée équation cartésienne.

2.1.2 Propriétés

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) Chaque droite du plan admet une équation
cartésienne sous la forme ax+by+c=0.

2) L'ensemble des points M(x;y) du plan ℙ tel que ax+by+c=0 est une droite de vecteur directeur u^→(-b;a).

Notation
(D)= D(A;u^→) signifie (D) est une droite de vecteur directeur u^→ et passe par le point A.

Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par A(2;3) et de vecteur directeur u^→(1;4).

Correction
Première méthode L'équation d'une droite s'écrit sous la formeax+by+c=0.
u^→(1;4) est un vecteur directeur de (D)
donc -b=1 et a=4.
L'équation devient donc 4x-y+c=0.

Puisque A(2;3)∈(D) alors (2;3) vérifie l'équation de (D)
4.2-3+c=0 ou encore c=-5
ainsi 4x-y-5=0 est une équation cartésienne de la droite (D).

Deuxième méthode: M(x;y)∈(D) signifie que det(AM^→;u^→)=0
signifie que (x-2).4-(y-3).1=0
signifie 4x-8-y+3=0.

Ainsi 4x-y-5=0 est une équation cartésienne de la droite (D).

Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par A(1;-1) et de vecteur directeur u^→(2;1).
2) Construire (D).