1- Les ensembles et opérations dans IR

1.1 Ecriture et notations

1.1.1 Ensemble IN

Les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; .. sont des nombres positifs sans virgule appelés des entiers naturels et construisent l'ensemble des entiers naturels noté IN.
IN={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...}.
IN*=IN\{0}={1 ; 2 ; 3 ; 4 ;...}.

1) 0 ne se trouve pas dans IN*
on écrit 0∉IN* et on lit 0 n'appartient pas à IN*.
2) L'entier 4 se trouve dans IN
on écrit 4∈IN et on lit 4 appartient à IN.

1.1.2 Ensemble ℤ

L'ensemble des entiers naturels et leurs opposés est appelé l'ensemble des entiers relatifs et est noté ℤ.
ℤ= {..; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ..}

Remarque
1) ℤ⁺=IN et ℤ^-={..-3 ; -2 ; -1 ; 0}
2) IN⊂ℤ et on lit IN est inclu dans ℤ.
3) ℤ=ℤ⁺∪ℤ^- et on lit Z= Z⁺ union Z^-.
(a) -7∈ℤ et on lit -7 appartient à ℤ.
(b) -7∉IN et on lit -7 n'appartient pas à IN.

1.1.3 Ensemble 𝔻

L'ensemble des nombres qui s'écrivent sous la forme

est appelé l'ensemble des nombres décimaux et est noté 𝔻.

Exemples

-12,14 est un nombre décimal
donc -12,14 ∈𝔻
√(2) n'est pas un nombre décimal
donc √(2)∉ 𝔻

1.1.4 Ensemble ℚ

L'ensemble des nombres qui s'écrivent sous la forme

est appelé l'ensemble des nombres rationnels et est noté ℚ.

Exemples

1.1.5 Ensemble ℝ

1) √(2) est un nombre irrationnel
2) π∉ℚ et notons que 3,14 est tout simplement une approximation du nombre π.
π est un nombre irrationnel :)
3) e∉ℚ et notons que 2,718 est tout simplement une approximation du nombre exponentiel e.
e est un nombre irrationnel :)

4) Le nombre d'or

est un nombre irrationnel.

Définitions L'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels est appelé l'ensemble des nombres réels et est noté IR.
Notons que IN⊂ℤ⊂𝔻⊂ℚ⊂ℝ.