المجموعات والعمليات (3)
1.2 العمليات في ℝ
1.2.1 Activité
احسب
a=12+5+15
| b = | 1 + | 3 | |
| 2 | |||
| c = | -4 + | 2 | |
| 5 | |||
| d = | 1 | + | 5 |
| 4 | 4 |
| u = | 15 | - | 3 |
| 7 | 2 |
| v = 2 | × | 7 | |
| 2 | |||
| w = | 2 | × | 3 |
| 9 | 5 |
1.2.2 عمليات الجمع +
لتكن a و b و c و d أعداد حقيقية.
1) التبادية
a+b=b+a.
2) التجميعية
(a+b)+c=a+(b+c).
3) العنصر المحايد 0
a+0=a و
0+a=a.
4) العنصر المماثل
a+(-a)=0 و (-a)+a=0.
ملاحظة a-b=a+(-b)=-b+a.
أمثلة
1) 7+15=22 و 15+7=22
اذن
7+15=15+7.
2) 13-5=13+(-5)=8 و
-5+13=8
اذن
13-5=-5+13.
3) (2+8)+4=10+4=14
و
2+(8+4)=2+12=14
اذن
(2+8)+4=2+(8+4)=2+8+4.
1.2.3 عمليات الضرب ×
1) التبادلبة a×b=b×a.
2) التجميعية a×(b×c)=a×(b×c).
3) 1 عنصر محايد a×1=1×a=a.
4) العنصر المماثل اذا كان a≠0 فان a له مقلوب
| a × | 1 | = | a | = 1 |
| a | a |
5) التوزيعية
a×(b+c)=a×b+a×c
و
(b+c)×a=b×a+c×a.
أمثلة
1) 8×15=120
و
15×8=120
اذن
8×15=15×8.
2) 25×1=25 و
1×25=25
اذن
25×1=1×25=25.
3) (2×7)×5=14×5=70
و
2×(7×5)=2×35=70
اذن
(2×7)×5=2×(7×5)=2×7×5.
4) 10×(20+17)=10×37=370
اذن
(10×20)+(10×17)=200+170=370.
اذن
10×(20+17)=(10×20)+(10×17).
1.2.4 خاصية
ليكن a و b عددين حقيقيين.
a×b=0 يعني (a=0 أو b=0).
| a | = a× | 1 | فان b≠0 اذا كان |
| b | b |
مثال 1
| 7 | = 7 × | 1 |
| 4 | 4 |
| -5 | = -5 × | 1 |
| 3 | 3 |
مثال 2
(a-2)(b-5)=0 يعني
(a-2=0 أو b-5=0)
يعني
(a=2 أو b=5).
مثال 3
7(a-5)=0 يعني
(7=0 أو a-5=0)
7≠0 اذن
7(a-5)=0 يعني
a=5.