2- Les puissances et propriétés

2.1 Puissances d'un nombre réel

2.1.1 Exemples

1) On a 3²=3×3=9.
2³=2×2×2=8.
2) La surface d'un carré de coté 5
S=5×5=5².
3) Le volume d'un cube de coté 2
V=2×2×2=2³.

2.1.2 Définition

Soient a∈IR et n∈IN*.
aⁿ=a×a×...×a (n facteurs de a)
Si a≠0 alors aº=1.

2.1.3 Propriétés 1

Soient a et b deux nombres réels.
aⁿ×a^m=a^n+m tels que n∈IN et m∈IN.
aⁿ×bⁿ=(a×b)ⁿ tel que n∈IN.
(xⁿ)^m=a^nm tels que n∈IN et m∈IN.

2.1.4 Propriétés 2

Soient a et b deux nombres réels tel que b≠0.

Exercice 1 tp

Simplifier 5^-7×2²×125³ et (4³)⁵×2^-28.

Correction

1) a=5^-7×2²×125³= 5^-7×2²×(5³)³
=5^-7×2²×5^3.(3) =5^-7×5⁹×2²
=5^-7+9×2² =(5.2)²=10²=100.

2) b=(4³)⁵×2^-28=4^3.5×2^-28
=4¹⁵×2^-28=(2²)¹⁵×2^-28 =2³⁰×2^-28
=2^30+(-28)=2²=4.

2.2 Puissances de 10

2.2.1 Exemples

10²=100 et 10³=10×10×10=1000.

2.2.2 Définitions

Soit n un entier naturel non nul.
1) 10ⁿ=10×10×...×10
10ⁿ=100....0 (n zéros avant 1)
2) 10^-n= 0,0...01.
10^-2=0,01
10^-4=0,0001 et ainsi de suite.

2.3 Ecriture scientifique d'un nombre décimal

2.3.1 Exemples (l'unité du nombre n'est pas 0)

1) Le nombre 13,7 s'écrit avec deux chiffres avant la virgule (1 et 3)
son écriture avec un seul chiffre 13,7=1,37×10 est appelée écriture scientifique du nombre 13,7.
2) Ecriture scientifique du nombre décimal 915,04 est 9,1504×10².

Notons qu'on a déplacé la virgule de droite à gauche de deux chiffres donc l'exposant est +2.
3) Ecriture scientifique du nombre décimal -2020,015 est -2,020015×10³.
Notons qu'on a déplacé la virgule de droite à gauche de trois chiffres donc l'exposant est +3.

2.3.2 Exemples (l'unité du nombre est 0)

1) 0,123=1,23×10^-1. Notons qu'on a déplacé la virgule de gauche à droite d'un seul chiffre donc l'exposant est -1.

2) -0,0021=-2,1×10^-3.
Notons qu'on a déplacé la virgule de gauche à droite de trois chiffres donc l'exposant est -3.

Remarque L'écriture scientifique d'un nombre d'un seul chiffre différent de 0 avant la virgule est lui même. Exemple 5,14.