2.3 Inéquations du second degré à une inconnue

2.3.1 Exemple 1

Résoudre l'inéquation 4x²+4x+1>0 dans IR.

Correction
1) Signe de T(x)=25x²+10x+1
Δ=b²-4ac=10²-4.25.1=0
donc T(x) est de signe de a et admet une racine double

x1 =	-b	=	-10	=	- 1	= -0,2
	2a		50		5

a=25>0 donc pour tout (x∈IR): T(x)≥0.

x		-∞		-0,2		+∞
T(x)			+	0	+

On a l'inégalité est stricte dans l'inéquation proposée donc -0,2∉S
ainsi S=IR\{-0,2} ou encore

S = ]-∞ ;	-1	[∪]	-1	+∞[
	5		5

2.3.2 Exemple 2

Résoudre dans IR 'inéquation 2x²-3x+1≥0.

Correction
T(x)=2x²-3x+1

a=2

b=-3

c=1

Δ=(-3)²-4.2.1=9-8
donc Δ=1>0 et donc T(x) admet deux racines différentes

x1 =	-b - √(Δ)		x2 =	- b + √(Δ)
	2a			2a
=	-(-3) - √(25)		=	-(-3) + √(25)
	4			4

x1 =	3-5		x2 =	3+5
	4			4
=	-1		=	2
	2

a=2>0 donc T(x) est positif à l'extérieur des racines.

x	-∞		-1/2		2		+∞
T(x)		+	0	-	0	+

donc S = ]-∞ ;	-1	] ∪ [2 ; +∞[
	2

Résultat L'ensemble de solutions de l'inéquation 2x²-3x+1<0.

S = ]	-1	; 2[
	2

Exercice 1 tp

Résoudre l'inéquation -7x²+5x-2≥0 dans IR.

Correction

Signe du trinôme T(x)=-7x²+5x-2.
Δ=b²-4ac=5²-4.(-7).(-1)=25-28.
Δ=-3<0 donc T(x) est de signe de a et n'admet pas de racine.

a=-7<0 donc pour tout x∈IR)(T(x)<0).
L'inéquation proposée T(x)≥0
alors S=∅.

Résultat S₂=IR est l'ensemble de solutions
de l'inéquation -7x²+5x-1<0.

Exercice 2 tp

Résoudre l'inéquation -2x²+3x+5≤0 dans IR.

Correction

Signe de trinôme T(x)=-5x²+3x+2.
Δ=b²-4ac=3²-4.(-5).2=49.

Δ>0 donc T(x) admet deux racines.

x1 =	-b - √(Δ)		x2 =	-b + √(Δ)
	2a			2a
=	-3 - √(49)		=	-3 + √(49)
	-10			-10
=	- 10		=	4
	-10			- 10
=	1		=	-2
				5

a=-5<0 donc T(x) est négatif à l'extérieur des racines.

x	-∞		-2/5		1		+∞
T(x)		-	0	+	0	-

donc S = ]-∞ ;	-2	] ∪ [1 ; +∞[
	5

Résultat L'ensemble de solutions
de l'inéquation 2x²-3x+1>0

S = ]	-2	; 1[
	5