3.3 Régionnement du plan

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthogonal (O;i^→;j^→).

3.3.1 Signe de ax+by+c

Soit (D): ax+by+c=0 dans ℙ.
(D) partage le plan en deux demi-plan de frontière (D.
L'un est défini par l'inéquation
ax+by+c<0 et l'autre par l'inéquation
ax+by+c>0.

Si les coordonnées d'un point A(a;b) qui n'appartient pas à la droite (D) vérifient l'une des deux inéquations alors l'inéquation est celle du demi-plan qui contient le point A(a;b).
Notons qu'on choisi O si O∉(D).

3.3.2 Exemple

1) (a) Etudier graphiquement
le signe de x+y-2.
(b) Résoudre graphiquement
l'inéquation x+y-2<0.

2) (a) Etudier graphiquement
le signe de x-y+2.
(b) Résoudre graphiquement
l'inéquation x+y-2<0.
3) (a) Déduire graphiquement l'ensemble des solutions de l'inéquation
(I): (x+y-2)(x-y+2)<0.

(b) Déduire graphiquement l'ensemble des solutions du système

Correction
1) (a) Signe de x+y-2.
On trace d'abord la droite (D)
d'équation x+y-2=0.
Puis on considère un point qui n'appartient pas à (D) soit O(0;0).
0+0-2=-2<0 donc le demi plan de bord (D) et contenant le point O est défini par
l'inéquation x+y-2<0 .

Le demi plan de bord (D) et ne contenant pas le point O est défini par
l'inéquation x+y-2>0.
(b) L'ensemble des solutions de l'inéquation x+y-2<0 est l'ensemble des couples des coordonnées des points du demi plan de bord (D) et contenant O.

2) (a) Signe de x-y+2.
On trace d'abord la droite (D)
d'équation x-y+2=0.
Puis on considère un point qui n'appartient pas à (D') soit O(0;0).
0-0+2=2>0 donc le demi plan dont le bord (D') et contenant le point O est défini par
l'inéquation x-y+2>0.

Le demi plan de bord (D') et ne contenant pas le point O est défini par
l'inéquation x-y+2<0.

(b) L'ensemble des solutions de l'inéquation
x-y+2<0 est l'ensemble des couples des coordonnées des points du demi plan de bord (D') et ne contenant pas O.
3) Pour cette question les deux droites (D) et (D') doivent êtres tracées dans le même repère.
(a) (I): (x+y-2)(x-y+2)<0 signifie x+y-2 et x-y2 ont le même signe
ainsi l'ensemble des solutions de l'inéquation (I) est l'ensembles des couples des coordonnées des points des parties (1) et (3) du plan.

(b) L'ensemble des solutions du système (S) est l'ensembles des couples des coordonnées des points de la partie (4) du plan.