2.5 Equations trigonométriques définies sur des intervalles

2.5.1 Exemple 1

Résoudre dans I=[-π;π] l'équation
(E): 2cosx=√3.

Correction
1) On résout l'équation (E) dans IR.
(E): 2cosx=√2 signifie

cosx =	√2
	2

On a

cos(	π	) =	√2
	4		2

donc (E) signifie

cos x = cos	π
	4

Signifie

ou	x =	π	+ 2kπ	k et k'∈ℤ
		4
	x = -	π	+2k'π
		4

2) On encadre les solutions sur l'intervalle I=[-π;π]
(a) On encadre

x =	π	+ 2kπ tel que k∈ℤ
	4

-π≤	π	+2kπ	≤π
	4

ou encore

-1≤	1	+2k	≤1
	4

ou encore

-1-	1	≤+2k≤1-	1
	4		4

Ou encore

-5	≤k≤	3
8		8

k∈ℤ donc k=0 ainsi

x =	π
	4

(b) On encadre

x =	- π	+ 2k'π tel que k'∈ℤ
	4

-π≤	- π	+2k'π	≤π
	4

ou encore

-1≤	- 1	+2k'	≤1
	4

ou encore

-1+	1	≤+2k'≤1+	1
	4		4

Ou encore

-3	≤k'≤	5
8		8

k'∈ℤ donc k'=0 ainsi

x =	- π
	4

alors: S = {	- π	;	π	}
	4		4

Remarque
En utilisant le cercle trigonométrique (C) on obtient
les seules solutions dans l'intervalle I

π	et	-π
4		4