تمرين 1 tp

لتكن g دالة عددية معرفة كما يلي
g(x)=-x³+27x.
1) حدد g'(x) حيث x∈IR.
2) (a) ادرس اشارة g' على IR
(b) استنتج رتابة الدالة g.
(c) انشئ جدول تغيرات g.
3) استنتج مطارف الدالة g.

تصحيح

1) g حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
g'(x)=(-x³+27x)'=-3x²+27
اذن g'(x)=-3x²+27.

2) (a) اشارة g'
g'(x)=0 ⇔ -3x²+27 = 0
⇔ -3(x²-9)=0 ⇔ x²-9=0
⇔ (x-3)(x+3)=0
⇔ (x-3=0) او (x+3)=0)
⇔ (x=3 او x=-3)

اشارة -3x²+27 لدينا a=-3<0 اذن

x		-∞		-3		3		+∞
g '(x)			-	0	+	0	-

اذا كان x∈]-∞;-3[ فان g'(x)<0.
اذا كان x∈]3;+∞[ فان g'(x)<0.
اذا كان x∈]-3;3[ فان g'(x)>0.

(b) رتابة الدالة g.
حسب السؤال السابق
لدينا g'(x)<0 اذا كان x∈]-∞;-3[
اذن g تناقصية قطعا على ]-∞;-3].
ولدينا g'(x)<0 اذا كان x∈]3;+∞[
اذن g تناقصية قطعا كذلك على [3;+∞[ .
ولدينا g'(x)>0 اذا كان x∈]-3;3[
اذن g تزايدية قطعا على [-3;3].

(c) جدول التغيرات.
نحسب النهايتين التاليتين لانشاء جدول التغيرات

lim - ∞

g(x) =

lim - ∞

-x³

اذن

lim - ∞

g(x) = - ∞

lim + ∞

g(x) =

lim + ∞

-x³

اذن

lim + ∞

g(x) = + ∞

x		-∞		-3		3		+∞
g '(x)			-	0	+	0	-
g		+∞	↘	-54	↗	54	↘	- ∞

3) مطارق الدالة g.
الدالة المشتقة g' تنعدم في (-3) وتتغير اشارتها من - الى + اذن g(-3)=-54 قيمة دنيا محلية
للدالة g في المجال ]-∞;3[.
لدينا أيضا الدالة المشتقة g ' تنعدم في 3 وتتغير اشارتها من + الى - اذن g(3)=54 قيمة دنيا محلية
للدالة g في المجال ]-3;+∞[.

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية
احسب f'(x) لكل من الحالات التالية
1) f(x)=5-x.
2) f(x )=x²-10x+5.
3) f(x)=(7x-2)(4-x).
4) f(x)=-x³+4x²-3x+2.
5) f(x)=5x³-15x²+1.