تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=(x²-1)(x²+1).
1) بين أن لكل x∈IR لدينا f'(x)=4x³
ثم استنتج رتابة الدالة f.
2) أنشئ جدول تغيرات الدالة f واستنتج مطاريفها.

تصحيح

1) الطريقة الأولى
نلاحظ ان على شكل متطابقة هامة
اذن f(x)=(x²-1)(x²+1)=(x²)²-1
ومنه فان f(x)=x⁴-1.
لدينا f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
وبالتالي لكل x∈IR لدينا f'(x)=4x³.

الطريقة الثانية
نستعمل خاصية العمليات على الاشتقاق الدالة f هي جذاء حدوديتين اذن الدالة f قابلة للاشتقاق على I. ولدينا
f'(x)=[(x²-1)(x²+1)]'
=(x²-1)'(x²+1)+(x²-1)(x²+1)'
=2x(x²+1)+(x -1)(2x)
=2x³+2x+2x³-2x=4x³
وبالتالي لكل x∈IR لدينا f'(x)=4x³.

اشارة f'(x).
f'(x)=0 ⇔ 4x³=0 ⇔ x = 0
f'(x)>0 ⇔ 4x³>0 ⇔ x>0
لان الأس 3 فردي المتفاوتة لا تتغير
f'(x)<0 ⇔ 4x³<0 ⇔ x<0
لان الأس 3 فردي المتفاوتة لا تتغير.
اذن f تزايدية قطعا على المجال [0;+∞[
وتناقصية قطعا على المجال ]-∞;0].

2) (a) جدول التغيرات.
نحسب النهايتين لانشاء جدول التغيرات.

lim - ∞

f(x) =

lim - ∞

(x²-1)(x²+1)

=	lim - ∞	(x² - 1)	×	lim - ∞	x² + 1
=	lim - ∞	(x²)	×	lim - ∞	(x²)

= (+∞) (+∞)=+∞.

لدينا اذن

lim - ∞

f(x) =

+∞

lim + ∞

f(x) =

lim + ∞

(x²-1)(x²+1)

=	lim + ∞	(x² - 1) ×	lim + ∞	x² + 1
=	lim + ∞	(x²) ×	lim + ∞	(x²)

= (+∞) (+∞) = +∞

lim + ∞

f(x) =

+∞

اذن

x		-∞		0		+∞
f '			-	0	+
f		+ ∞	↘	-1	↗	+ ∞

(b) المطاريف.
الدالة المشتقة f ' تنعدم في 1
وتتغير اشارتها من + الى -
اذن f(0)=-1 قيمة قصوى للدالة f على IR
اذن العدد -1 مطراف للدالة f.