1.2 الاشتقاق على مجال

1.2.1 تعاريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I.
1) نقول ان الدالة f قابلة للاشتقاق على المجال I يعني ان الدالة f قابلة للاشتقاق في كل نقطة من المجال I.
2) الدالة التي تربط كل عنصر من x من I بالعدد المشتق f'(x) تسمى الدالة المشتقة للدالة f على المجال I ونرمز لها ب f '.

1.2.2 مشتقة الدالة x → a

خاصية
ليكن a∈IR و f دالة عددية ثابتة ذات المتغير x
بحيث لكل x∈IR لدينا f(x)=a.
f قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) f '(x)=0.

أمثلة
1) الدالة f المعرفة ب f(x)=1 قابلة للاشتقاق على IR.
ولدينا (∀x∈IR) f'(x)=0.

2) الدالة g المعرفة ب g(x)=7 قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) g'(x)=0.
3) الدالة h المعرفة ب h(x)=-5 قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) h'(x)=0.

1.2.3 مشتقة الداالة x → ax

خاصية
ليكن a∈IR و f دالة عددية ذات المتغير x
و معرفة بما يلي (∀x∈IR) f(x)=ax.
f قابلة للاشتقاق على IR ودالتها المشتقة f'
معرفة كما يلي (∀x∈IR) f'(x)=a.

أمثلة
1) f دالة عددية معرفة ب f(x)=x.
الدالة f قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) f'(x)=1.
2) g دالة عددية معرفة ب g(x)=2x.
الدالة g قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) g'(x)=2.
3) h دالة عددية معرفة ب h(x)=-4.
الدالة h قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) h'(x)=-4.

1.2.4 مشتقة الداالة x→xⁿ

خاصية
ليكن n∈IN* و f دالة عددية ذات المتغير x
ومعرفة بما يلي لكل x∈IR لدينا f(x)=xⁿ.
الدالة f قابلة للاشتقاق على IR ودالتها المشتقة f'
معرفة كما يلي (∀x∈IR) f'(x)=nx^n-1.

أمثلة
1) f دالة عددية معرفة ب f(x)=x² قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) f'(x)=2x.

2) g دالة عددية معرفة ب g(x)=x³ قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) g'(x)=3x².
3) h دالة عددية معرفة ب h(x)=x⁴ قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) h'(x)=4x³.
4) u دالة عددية معرفة ب u(x)=x⁵ قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) u'(x)=5x⁴.

تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي f(x) = x³ و (C) المنحنى الممثل لها في معلم (O;i^→;j^→).
1) حدد العدد المشتق f'(-1).
2) حدد معادلة المماس (T) للمنحنى (C) عند النقطة ذات الافصول -1.

تصحيح

1) لدينا -1∈D و f(-1)=(-1)³=-1
ولدينا f قابلة للاشتقاق على IR.

لكل x∈IR لدينا f '(x =(x³)'=3x²
اذن f'(-1)=3.(-1)²=3.
2) بما أن f قابلة للاشتقاق في -1∈D فان المنحنى (C) يقبل مماسا (T) في النقطة -1 معادلته تكتب على الشكل
y=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)
=3(x+1)-1
=3x+3-1
اذن (T): y=3x+2.