2- Opérations sur la dérivée

2.1 Dérivée de la somme

2.1.1 Propriété

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
La fonction f+g est dérivable sur I et on a pour tout x∈I

2.1.2 Exemple 1

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²+x. Déterminer f'(x).

Correction
f est la somme de deux fonctions (x→x² et x→x) qui sont dérivables sur IR
donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=(x²+x)'=(x²)'+(x)'=2x+1
ainsi (∀x∈IR) f'(x)=2x+1.

2.1.3 Exemple 2

Soit g une fonction numérique définie par
g(x)=x³+x²+x+2.
Déterminer f'(x).

Correction
g est la somme de deux fonctions dérivables sur IR donc g est dérivable sur IR. Soit x∈IR.
g'(x)=(x³+x²+x+2)'
=(x³)'+(x²)'+(x)'+(2)'
=3x²+2x+1+0
ainsi (∀x∈IR) f'(x)=3x²+2x+1.

2.2 Dérivée du produit

2.2.1 Propriétés

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I
n∈IN* et k∈IR.
Les fonctions kf, f×g et fⁿ sont dérivables sur I et on a pour tout x∈I

2.2.2 Exemples

Exemple 1
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=4x². Déterminer f'(x).

Correction
f est le produit de 4 et x² donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=(4x²)'=4(x²)'=4.(2x)
ainsi (∀x∈IR) f'(x)=8x.

Exemple 2
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=-5x³+ 2x. Déterminer f'(x).

Correction
f est la somme de deux fonctions dérivables sur IR x→-5x³ et x→2x donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=(-5x³+2)'=(-5x³)'+(2x)'
= -5.(x³)'+2=-5.3x²+2
ainsi (∀x∈IR) f'(x)=-15x²+2.

Exemple 3
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x³+5x²+7x+13. Déterminer f'(x).

Correction
donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=(x³+5x²+7x-13)'
=(x³)'+(5x²)'+(7x)-(13)'
=3x²+5(2.x)+7+0
ainsi (∀x∈IR) f'(x)=3x²+10x+7.

Exemple 4
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=(x²+5x)(4x-1). Déterminer f'(x).

Correction
f est le produit de deux fonctions dérivables sur IR donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR.
f'(x)=[(x²+5x)(4x-1)]'
=(x²+5x)'(4x-1)+(x²+5x)(4x-1)'
=((2.x+5)(4x-1)+(x²+5x).4
=(8x²-2x+20x-5)+(4x²+20x)
ainsi (∀x∈IR) f'(x)=12x²-38x-5.