Dérivabilité (4)
2.2.3 Propriété
Toute fonction polynôme est dérivable sur IR.
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
f(x)=(x³-3x)(1-5x). Déterminer f'(x).
Correction
f est le produit de deux polynômes donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=(x³-3x)'(1-5x)+(x³-3x)(1-5x)'.
=(3x²-3)(1-5x)+(x³-3x).(-5).
=(3x²-15x³-3+15x)+(-5x³+15x)
ainsi (∀x∈IR) f'(x)=-20x³+3x²+30x-3.
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par
f(x)=(5x²-1)². Déterminer f'(x).
Correction
f est le carré d'une fonction dérivable donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=2(5x²-1)'(5x²-1)2-1=2(5.2x)(5x²-1)
ainsi (∀x∈IR) f'(x) =(20x.5x²)-20x=100x3-20x.
2.3 Dérivée de l'inverse
2.3.1 Propriété
Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si la fonction g ne s'annule pas sur I alors les fonctions
| 1 | et | f |
| g | g |
sont dérivables sur I et on a ∀x∈I
| ( | 1 | )'(x) = | -g'(x) |
| g | (g(x))² |
| ( | f | )'(x) = | f'(x)g(x) - f(x)g'(x) |
| g | (g(x))² |
2.3.2 Exemple
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | 1 |
| x² + 3 |
Calculons f'(x) pour x∈D.
La fonction x→x²+3 ne s'annule pas sur IR car
∀x∈IR) x²+3≠0 et de plus dérivable sur IR
donc f est dérivable sur IR.
Soit x∈IR
| f'(x) = ( | 1 | )' = | -(x²+3)' |
| x²+3 | (x²+3)² |
ainsi ∀x∈IR
| f'(x) = | -2x |
| (x²+3)² |
2.3.3 Propriété
Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensembles de définition.
Exercice 3 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | 5x-1 |
| 2x+4 |
Déterminer f'(x) pour x∈D.
f est définie si 2x+4≠0.
2x+4=0 ⇔ 2x=-4 ⇔ x=-2
donc D=IR\{-2}
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D.
Soit x∈D
| f'(x) = | (5x-1)'(2x+4) - (5x-1)(2x+4)' |
| (2x+4)² |
| = | 5(2x+4) - (5x-1)(2) |
| (2x+4)² |
| = | 10x+20-10x+2 |
| (2x+4)² |
ainsi ∀x∈IR\{-2}
| f '(x) = | 22 |
| (2x+4)² |