تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x) =	2x-1
	x+1

1) حدد f'(x) حيث x∈D
وادرس رتابة الدالة f.
2) (a) احسب النهايات التالية

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

lim (-1)-

f(x)

lim (-1)+

f(x)

(b) انشئ جدول تغيرات الدالة f.

تصحيح

1) f دالة جذرية معرفة اذا كان (x+1≠0)
أي x≠-1
اذن D=]-∞;-1[∪]-1;+∞[.
f دالة جذرية قابلة للاشتقاق على D.

ليكن x∈D

f'(x) =	(2x-1)'(x+1)-(2x-1)(x+1)'
	(x+1)²
=	2(x+1)-(2x-1)(1)
	(x+1)²
=	2x+2-2x+1
	(x+1)²
f '(x) =	3	اذن
	(x+1)²

اشارة f'(x). لدينا 3>0 و (x+1)²>0 لان x≠-1
اذن (∀x∈D) f'(x)>0 وهذا يعني ان f تزايدية قطعا على المجال ]-∞;-1[ وتزايدية قطعا كذلك على المجال ]-1;+∞[.

2) (a) حساب النهايات

lim - ∞	f(x) =	lim - ∞	2x	= 2
			x
lim + ∞	f(x) =	lim + ∞	2x	= 2
			x

لتحديد النهاية عند (-1) ندرس اشارة المقام x+1.

x		-∞		-1		+∞
x+1			-	||	+

اذن

{	(x<-1)	اذا كان	x+1 < 0
	(x>-1)	اذا كان	x+1 > 0

نضع p(x)=2x-1 و q(x)=x+1.
لدينا p(-1)=-3.

عندما x→(-1)^- فان q(x)→0^-.
ومنه فان

lim (-1)-	f(x) =	-3	= +∞
		0-

عندما x→(-1)⁺ فان q(x)→0⁺.
ومنه فان

lim (-1)+	f(x) =	-3	= -∞
		0+

(b) جدول التغيرات

x	-∞			-1			+∞
f'(x)		+		||		+
f'	2	↗	+∞	||	-∞	↗	2