Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivabilité (7)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = 2x - 1
x + 1

1) Déterminer f'(x) et étudier la monotonie de f sur D.
2) (a) Calculer les limites suivantes


lim
- ∞
f(x)
lim
+ ∞
f(x)

lim
(-1)-
f(x)
lim
(-1)+
f(x)

(b) Tracer le tableau de variations de f.

Correction

f est définie si x+1≠0
ou encore si x≠-1
donc D=IR\{-1}=]-∞;-1[∪]-1;+∞[.
f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur D.

Soit x∈D

f'(x) = (2x-1)'(x+1)-(2x-1)(x+1)'
(x+1)²
= 2(x+1)-(2x-1)(1)
(x+1)²
= 2x+2-2x+1
(x+1)²
donc f '(x) = 3
(x+1)²

Signe de f'(x). On a 3>0 et (x+1)²>0 car x≠-1
donc (∀x∈D) f'(x)>0 et cela signifie que f est strictement croissante sur ]-∞;-1[ et également strictement croissante sur ]-1;+∞[.

2) (a) On calcule les limites


lim
- ∞
f(x) =
lim
- ∞
2x = 2
x

lim
+ ∞
f(x) =
lim
+ ∞
2x = 2
x

On étudie le signe de x+1 pour étudier la limite en (-1).

x -∞ -1 +∞
x+1 - || +

donc

{ (x<-1) اذا كان x+1 < 0
(x>-1) اذا كان x+1 > 0

On pose p(x)=2x-1 et q(x)=x+1.
On a p(-1)=-3.

Si x→(-1)- alors q(x)→0-
ainsi


lim
(-1)-
f(x) = -3 = +∞
0-

Si x→(-1)+ alors q(x)→0+
ainsi


lim
(-1)+
f(x) = -3 = -∞
0+

(b) Tableau de variations de f

x -∞ -1 +∞
f'(x) + || +
f'

2

+∞ ||

-∞

2