Dérivabilité (7)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x - 1 |
| x + 1 |
1) Déterminer f'(x) et étudier la monotonie de f sur D.
2) (a) Calculer les limites suivantes
lim - ∞ |
f(x) | lim + ∞ |
f(x) |
lim (-1)- |
f(x) | lim (-1)+ |
f(x) |
(b) Tracer le tableau de variations de f.
Correction
f est définie si x+1≠0
ou encore si x≠-1
donc D=IR\{-1}=]-∞;-1[∪]-1;+∞[.
f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur D.
Soit x∈D
| f'(x) = | (2x-1)'(x+1)-(2x-1)(x+1)' |
| (x+1)² | |
| = | 2(x+1)-(2x-1)(1) |
| (x+1)² | |
| = | 2x+2-2x+1 |
| (x+1)² | |
| donc f '(x) = | 3 |
| (x+1)² |
Signe de f'(x).
On a
3>0 et (x+1)²>0 car x≠-1
donc (∀x∈D) f'(x)>0 et cela signifie que f est strictement croissante sur ]-∞;-1[ et également strictement croissante sur ]-1;+∞[.
2) (a) On calcule les limites
lim - ∞ |
f(x) = | lim - ∞ |
2x | = 2 |
| x | ||||
lim + ∞ |
f(x) = | lim + ∞ |
2x | = 2 |
| x |
On étudie le signe de x+1 pour étudier la limite en (-1).
| x | -∞ | -1 | +∞ | |||
| x+1 | - | || | + |
donc
| { | (x<-1) | اذا كان | x+1 < 0 |
| (x>-1) | اذا كان | x+1 > 0 |
On pose p(x)=2x-1 et q(x)=x+1.
On a p(-1)=-3.
Si x→(-1)- alors q(x)→0-
ainsi
lim (-1)- |
f(x) = | -3 | = +∞ |
| 0- |
Si x→(-1)+ alors q(x)→0+
ainsi
lim (-1)+ |
f(x) = | -3 | = -∞ |
| 0+ |
(b) Tableau de variations de f
| x | -∞ | -1 | +∞ | ||||
| f'(x) | + | || | + | ||||
| f' | 2 |
↗ |
+∞ | || | -∞ |
↗ |
2 |