تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية
احسب f '(x) لكل من الحالات التالية
1) f(x) = 5 - x
2) f(x ) = x² - 10x + 5
3) f(x) = (7x - 2)(4 - x)
4) f(x) = -x³ + 4x² - 3x + 2
5) f(x) = 5x³ - 15x² + 1

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x) = (x² - 1)(x² + 1)
1) بين أن لكل x∈IR لدينا f '(x) = 4x³ ثم استنتج رتابة الدالة f
2) أنشئ جدول تغيرات الدالة f واستنتج مطاريفها

تصحيح

1) الطريقة الأولى نلاحظ ان على شكل متطابقة هامة
اذن f(x) = (x² - 1)(x² + 1) = (x²)² - 1
ومنهه فان f(x) = x⁴ - 1
لدينا f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
وبالتالي لكل x∈IR لدينا f '(x) = 4x³

الطريقة الثانية نستعمل خاصية العمليات على الاشتقاق الدالة f هي جذاء حدوديتين اذن الدالة f قابلة للاشتقاق على I ولدينا
f '(x) = [(x² - 1)(x² + 1)]'
= (x² - 1)'(x² + 1) + (x² - 1)(x² + 1)'
= 2x(x² + 1) + (x² - 1)(2x)
= 2x³ + 2x + 2x³ - 2x = 4x³
وبالتالي لكل x∈IR لدينا f '(x) = 4x³
اشارة f '(x) f '(x) = 0 ⇔ 4x³ = 0 ⇔ x = 0
f'(x) > 0 ⇔ 4x³ > 0 ⇔ x > 0
لان الأس 3 فردي المتفاوتة لا تتغير
f '(x) < 0 ⇔ 4x³ < 0 ⇔ x < 0
لان الأس 3 فردي المتفاوتة لا تتغير

اذن f تزايدية قطعا على المجال [0 ; +∞[
وتناقصية قطعا على المجال ]-∞ ; 0]
3) نحسب النهايتين التاليتين لانشاء جدول التغيرات

lim - ∞

f(x) =

lim - ∞

(x²-1)(x²+1)

=	lim - ∞	(x² - 1)	×	lim - ∞	x² + 1
=	lim - ∞	(x²)	×	lim - ∞	(x²)

= (+∞) x (+∞) = +∞

lim - ∞

f(x) =

+∞

اذن

lim + ∞

f(x) =

lim + ∞

(x²-1)(x²+1)

=	lim + ∞	(x² - 1)	×	lim + ∞	x² + 1
=	lim + ∞	(x²)	×	lim + ∞	(x²)

= (+∞) x (+∞) = +∞

lim + ∞

f(x) =

+∞

اذن

x		-∞		0		+∞
f '			-	0	+
f		+ ∞	↘	-1	↗	+ ∞

4) الدالة المشتقة f ' تنعدم في 1
وتتغير اشارتها من + الى -
اذن f(0) = -1 قيمة قصوى للدالة f على IR
اذن العدد -1 مطراف للدالة f

تمرين 3 tp

لتكن h دالة عددية معرفة كما يلي

h(x) =	x² + 4
	x

1) بين ان لكل x∈IR*

h'(x) =	x² - 4
	x²

2) باستعمال جدول تغيرات الدالة f التالي حدد رتابة الدالة f ومطاريفها