تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x) = x³ - 3x.
1) حدد f '(x) حيث x∈IR.
2) حدد اشارة f ' واستنتج رتابة الدالة f ثم انشئ جدول تغيراتها.
3) استنتج مطارف الدالة f.

تصحيح

1) f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
ليكن x∈IR لدينا
f '(x) = (x³ - 3x)' = 3x² - 3
اذن f '(x) = 3x² - 3

2) f '(x) = 0 ⇔ 3x² - 3 = 0
⇔ 3(x²-1) = 0 ⇔ x²-1 = 0
⇔ (x-1)(x+1) = 0
⇔ (x-1 = 0) أو (x+1 = 0)
⇔ (x = 1) أو (x = -1)
لدينا a = 3 > 0 اذن ثلاثية الحدود 3x² - 3 لها اشارة a=3 خارج الجذرين وعكس اشارة a=3 داخل الجذرين

اذا كان x∈]-∞ ; -1[ فان f '(x) > 0
اذا كان x∈]1 ; +∞[ فان f '(x) ≥ 0

اذا كان x∈]-1 ; 1[ فان f '(x) < 0
وهذا يعني أن الدالة f تزايدية قطعا على المجال
]-∞ ; -1] وتزايدية قطعا كذلك على المجال
[1 ; +∞[ وتناقصية قطعا على المجال [-1 ; 1]
3) نحسب النهايتين التاليتين لانشاء جدول التغيرات

3) الدالة المشتقة f ' تنعدم في (-1) وتتغير اشارتها من + الى - اذن f(-1) = 2 قيمة قصوى محلية
للدالة f في المجال ]-∞ ; 1[
ولدينا أيضا الدالة المشتقة f ' تنعدم في 1 وتتغير اشارتها من - الى + اذن f(1) = -2 قيمة دنيا محلية
للدالة f في المجال ]-1 ; +∞[

تمرين 2 tp

لتكن g دالة عددية معرفة كما يلي
g(x) = -x³ + 27x
1) حدد g '(x) حيث x∈IR
2) ادرس اشارة g ' على IR واستنتج رتابة الدالة g وانشئ جدول تغيراتها
3) استنتج مطارف الدالة g

تصحيح

1) g حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
ليكن x∈IR لدينا
g '(x) = (-x ³ + 27x)' = -3x² + 27
اذن g '(x) = -3x² + 27

2) اشارة g '
g '(x) = 0 ⇔ -3x² + 27 = 0
⇔ -3(x²-9) = 0 ⇔ x² - 9 = 0
⇔ (x-3)(x+3) = 0
⇔ (x - 3 = 0) او (x + 3) = 0)
⇔ x=3 او x=-3
اشارة -3x² + 27 لدينا a=-3 < 0 اذن

اذا كان x∈]-∞ ; -3[ فان g '(x) < 0
اذا كان x∈]3 ; +∞[ فان g '(x) < 0

اذا كان x∈]-3 ; 3[ فان g '(x) > 0
اذن ان g تناقصية قطعا على ]-∞ ; -3]
تناقصية قطعا كذلك على [3 ; +∞[
وتزايدية قطعا على [-3 ; 3]
نحسب النهايتين التاليتين لانشاء جدول التغيرات

3) الدالة المشتقة g ' تنعدم في (-3) وتتغير اشارتها من (-) الى (+) اذن g(-3) = -54 قيمة دنيا محلية
للدالة g في المجال ]-∞ ; 3[
ولدينا أيضا الدالة المشتقة g ' تنعدم في 3 وتتغير اشارتها من (+) الى (-) اذن g(3) = 54 قيمة دنيا محلية
للدالة g في المجال ]-3 ; +∞[